九上尖子生培优系列(63) ——弧长与扇形面积(3)

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【例题】已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F

（1）求证：DF为⊙O的切线；

（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；

（3）求图中阴影部分的面积．

【图文解析】

（1）在已有圆的情况下，证切线常有两种方法：点（圆上的点）是否明确，若明确，则作过这点的半径，证垂直；若不明确，则过圆心作垂线段，证垂线段＝半径。本题明确点D在圆上，属于明确，因此可连接DO，要证明DF为⊙O的切线只要证明OD⊥DF（即∠FDP=90°）即可.（多种证法，仅提供最常用的两证法）

法一：如下图示，

法二：连接BD，如下图示，

       根据等腰三角形“三线合一“和三角形的”中位线“定理，不难证得OD∥BC，从而∠ODF＝∠DFC＝90⁰，…….

（2）也有多种解法（仅提供一种解法），如下图示：

（3）显然需转化为规则图形的面积相减，因此可再连接OE，如下图示：

       不难求得CF，EF的长和∠DOE＝60⁰，再利用S_阴影＝S_{直角梯形FDOE}﹣S_扇形OED即可得到所求得阴影部分的面积．

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详细过程如下：

【解答】（1）连接DO．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠C=60°．∵OA=OD，

∴△OAD是等边三角形．

∴∠ADO=60°，∵DF⊥BC，

∴∠CDF=90°﹣∠C=30°，

∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°，

即OD⊥DF，

∴DF为⊙O的切线.

【反思】此题的解题思路均为常见常用.

【练习】如图，在△ABC中，∠BAC=105°，∠B=45°，AB＝2×根号2，AD⊥BC，垂足为D，以A为圆心，AD为半径画弧EF，求图中阴影部分的面积．

【上期答案】

【原题呈现】如果一个圆锥的侧面积等于底面积的3倍，求这个圆锥的展开图的圆心角．

【图文解析】

       此类题最好先画出圆锥的侧面的展开图，再设元，再利用扇形面积和弧长公式，列出相关的代数式，从而得到正确答案.如下图示：

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