九下尖子生培优系列(76) ——相似（1）

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【例题】如图，E、F分别在矩形ABCD的边CD、AB上，EF⊥AB，G、H分别是BC、EF的中点，EH＞HG，除矩形EFBC外，图中4个矩形都彼此相似，若BC=1，求AB的值.

【分析】根据相似多边形的相似的性质，根据相似多边形对应边的比相等，即可求解．

【解】如下图示：

设AB=CD=x，CE=y．则DE=x﹣y．

显然有：GC=0.5BC=0.5．

∵矩形ABCD∽矩形EHGC．

∴AB/GC=BC/HG，

即x/0.5=1/y……①

∵矩形ABCD∽矩形ADEF．

∴AD/AB=DE/AD，

即1/x=(x－y)/1……②

由①与②，解得：

【反思】注意分清对应边是解决本题的关键．

【分析】根据题意画出符合条件的图形：在黄金矩形ABCD的较长边AB上截取AE=BC，另一边DC上截取DF=BC，连接EF，那么可以证明四边形AEFD是正方形；然后证明矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比即可．

【解】如下图示：

在AB上截取AE=BC，

DF=BC，连接EF．

∵AE=BC，DF=BC，

∴AE=DF=BC=AD，

又∵∠ADF=90°，

∴四边形AEFD是正方形．

∴矩形BCFE是黄金矩形．

∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．

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