九下尖子生培优系列(77) ——相似（2）

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【例题】已知：如图，E在线段AB上，AD和BC交于F点，AC∥EF∥BD，若AC＝a，BD＝b，EF＝c，求证：1/a+1/b=1/c.

【解析】由平行条件，可用平行线分线段成比例定理. 

      由EF∥AC，可得△BEF∽△BAC，进一步可得：c/a=n/(m+n)；

      由EF∥BD，可得△BEF∽△BAC，进一步可得：可得c/b=m/(m+n)；

  所以c/a +c/b

  =n/(m+n) +m/(m+n)

  ＝(m+n)/( m+n)＝1.

两边都除以c，可得：

      1/a+1/b=1/c.

【反思】综合运用了平行→相似→对应边的比相等，然后通过两式相加．类似相关式子的证明常用此法.

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【练习】如图，梯形ABCD的对角线交于O，过O作两底的平行线分别交两腰于M，N．若AB=4，CD=1，求MN的长.

【解析】此图可以看作是两个例题的图组合而成，因此可类似利用例题的思路解决.如下图示：

将AB＝4和CD＝1代入，可得：OM＝0.8.

将AB＝4和CD＝1代入，可得：ON＝OM＝0.8.   所以MN＝2OM＝1.6.

【反思】综合运用了平行→相似→对应边的比相等，然后通过两式相加．类似相关式子的证明常用此法.

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