九下尖子生培优系列(82) ——相似（7）

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【例题】如图示，已知△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=6，AC=8，F为DE中点，若点D在直线BC上运动，连接CF，则在点D运动过程中，求线段CF的最小值.

【图文解析】如下图示，由原两个三角形相似可得到：

      因此当AD最短时，CF最小，而当AD最短时，可利用面积公式得到：AD＝AB×AC/BC＝4.8，再利用△ABC∽△ADE得AD/DE＝AB/BC，即4.8/DE＝6/10，∴DE=8，故CF的最小值就为CF=0.5×8=4．

      详细过程如下：

【解】如图，连接CE，

∵△ABC∽△ADE，∴∠ACD=∠AEG，

又∵∠AGF=∠DGC，∴△AGE∽△DGC，

∴AG/DG＝EG/CG，又∵∠AGD=∠EGC，

∴△AGD∽△EGC，∴∠ADG=∠ECG，

又∵Rt△ADE中，∠ADG+∠AEG=90°，

∴∠ECG+∠ACD=90°，即∠DCE=90°，

∵F是DE的中点，∴CF=1/2DE，

∵△ABC∽△ADE，

∴当AD⊥BC时，AD最短，此时DE最短，

而当AD⊥BC时，

      AD=AB×AC/BC＝4.8，

∵由△ABC∽△ADE得AD/DE＝AB/BC，

　即4.8/DE＝6/10，∴DE=8，

∴CF=0.5×8=4．

【反思】本题是典型的“旋转相似”的应用.除了要熟练相似三角形的判定与性质，以及常见的基本相似图形（子母直角三角形）的常见应用外，解题时还要注意：在几何中求解最值问题的常用依据是两点之间线段最短和垂线段最短，以及要理解好它们之间如何进行转化.另外本题中A、D、C、E四点共圆（本题解法，其实也是四点共圆的一个常见解法.如下图示：

【练习】如图示，已知△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=6，AC=8，F为DE中点，若点D在边BC上运动，当在点D从点B运动到点C时，求点F的运动路程.

【解析】如下图示，取BC的中点，连接AM和AF、FM，不难证明△ABM∽△ADF，得到AB：AD＝AM：AF，∠BAM＝∠DAF，进一步地，又得到：AB：AM＝AD：AF且∠BAD＝∠MAF.

      从而，又得到△ABD∽△AMF，因此∠AMF＝∠ABD＝定角，如下图示：

      因此F在过点M且与AM构成的角等于∠ABC的直线上运动，画出两特殊情形（即动点D分别在点B和点C位置时的F点的位置，连接得到线段就是所求的F点的运动路径。如下图示：

      显然，此时MF＝0.5BE，而BE＝BC²/AB＝10²/6＝50/3（可通过△ABC∽△CBE得到），MF＝25/3.即点F的运动路程为25/3.

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