九下尖子生培优系列(79) ——相似（4）

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【例1】已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有（　）

A.1对　B.2对　C.3对　D.4对

【分析】根据“∠ADE=∠ABC”判定DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，再利用“∠ADE=∠ACD及公共角A”可得△ADE∽△ACD，从而得到△ABC∽△ADE∽△ACD，此时共有3对相似，又从“∠ACD=∠ABC及∠CDE=∠BCD(因DE∥BC)”可得△EDC∽△DCB，因此总共有4对相似，故答案应选D.

【反思】熟练掌握判定相似的几种方法是解题关系，特别注意几个三角形均相似(连着相似)的情况下，往往有多种答案。

【练习1】如图，平行四边形ABCD中，F是BC延长线上一点，AF交BD于O，与DC交于点E，则图中相似三角形共有_____对（全等除外）．

【解析】由“ABCD是平行四边形”可得AD∥BC，AB∥DC，因此可得到：△ADO∽△FBO，△ABO∽△EDO，△ADE∽△FCE∽△FBA（3对），因此共有5对．

【练习2】如图，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形共有_________对.

【解析】由“△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形”可得∠B=∠C=∠FAG=∠F=45°，∠BAC=∠FGA=90°，又∠AEB=∠C+∠EAC=∠DAE+∠EAC=∠DAC，因此有：△ADC∽△EDA∽△EAB（3对），以及△ABC≌△GAF，所以共有4对.如下图示：

【例2】如图，圆内接四边形ABCD的对角线相交于E，AB、DC的延长线相交于P，则图中一定相似的三角形有_____对.

理由如下：

∵∠DCE=∠ABE，∠CDE=∠BAE

∴△CDE∽△BAE

同理，△AED∽△BEC

∵∠P=∠P，∠CDB=∠BAC

∴△PDB∽△PAC

∵∠DCB+∠BCP=180°，

　∠DCB+∠DAB=180°

∴∠BCP=∠DAB

∵∠P=∠P

∴△PCB∽△PAD

∴共有4对

【反思】圆中的性质定理多，易找到角相等.

【练习3】如图，圆内接四边形ABCD的对角线相交于E，AB、DC的延长线相交于P，若AD＝CD，则图中一定相似的三角形有_____对.

【解析】除了例2中的4对相似外，多了一个条件AD＝CD后，就多了4对相似，如下图示：

      另：本公众号已有此题相关的文章“一等弦六相似”(可直接点击打开).

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