2016-2017年度福建南平九上期末质检部分试题（压轴）选解
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2016·南平九上期末质检
10．如图，边长为a的正方形木块在水平地面上沿直线滚动一周（没有滑动），则它的中心点O所经过的路径长为（ ）
【图文解析】
不难理解中心点O的运动路径是四段圆弧（为1/4圆周），且半径应为正方形对角线长的一半（即为0.5×根号2）,如下图示：
所以点O所经过的路径长为恰好为一个圆的周长，应为：
因此本题应选C.
16.在直角坐标系中，已知点O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（2，0），△OBC的面积记为S1，过O、B、C三点的半圆面积记为S2；过O、B、C三点的抛物线与x轴所围成的图形面积记为S3，则S1、S2、S3的大小关系是 ．（用“＞”连接）.
【图文解析】结合图形（数形结合），如下图示，不难得到：
24．已知△ABC中，∠BCA＝90°，BC＝AC，D是BA边上一点（点D不与A，B重合）， M是CA中点，当以CD为直径的⊙O与BA边交于点N，⊙O与射线NM交于点E，连接CE，DE．
（1）求证：BN=AN；
（2）猜想线段CD与DE的数量关系，并说明理由．
【图文解析】
（1）如下图示，由直径——900（直角）——CN⊥AB，又AC＝BC，从而得到BN＝AN.详细过程如下：
理由如下：
∵在△ABC中，
∠BCA＝90°，BN＝AN，
∴CN＝AN，
∵点M是CA中点，
∴NM平分∠CNA，
∵∠CNA＝90°，
∴∠CNM＝45°，
∴∠CDE＝45°，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，
∴∠DCE＝45°＝∠CDE，
∴DE＝CE，
∵CE2+DE2＝CD2，
∴CD＝根号2×DE．
25．已知函数y＝mx2＋(2m＋1)x＋2(m为实数)．
（1）请探究该函数图象与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；
（2）在图中给出的平面直角坐标系中分别画出m=－1和m=1的函数图象，并根据图象直接写出它们的交点坐标________________；
（3）探究：对任意实数m，函数的图象是否一定过（2）中的点，并说明理由.
【图文解析】
（1）试题本身并没说明是什么函数，因此要分m＝0和m≠0两种情况讨论：
①当m＝0时，函数y＝x＋2为一次函数，与x轴有一个公共点.
②当m≠0时，函数y＝mx2＋(2m＋1)x＋2为二次函数，此时，应根据判别式△的符号进行判断.
由于△＝(2m＋1)2－8m
＝4m2+4m＋1-8m
＝(2m-1)2≥0，
因此当m＝0.5时，二次函数图像与x轴有一个公共点；
当m≠0.5时，二次函数图像与x轴有两个公共点；
综上所述，当m＝0或0.5时，函数图象与轴有一个公共点；当m≠0且m≠0.5时，函数图象与轴有两个公共点.
（2）当m＝－1时，函数解析式为：
y＝－x2－x＋2，
当m＝1时，函数解析式为：
y＝x2+3x＋2，
通过列表、描点、连线，可得到如下图示的图象.
通过列表和图象，不难得到：它们的交点坐标为（－2，0），（0，2）；
（3）方法一：（通法）
对于函数y＝mx2＋(2m＋1)x＋2，
当x＝-2时，y＝4m－4m－2＋2＝0，函数y＝mx2＋(2m＋1)x＋2经过点（-2，0）；
对于函数y＝mx2＋(2m＋1)x＋2，
当x＝0时，y＝2，函数y＝mx2＋(2m＋1)x＋2经过点（0，2）；
综上所述，函数y＝mx2＋(2m＋1)x＋2一定过（-2，0），（0，2）两点.
方法二：（定点定义法）
将函数y＝mx2＋(2m＋1)x＋2进行化简、整理，整理成一边含m的式子，另一边不含m的式子，得到：
(x2＋2x)m＝y－x－2
(x2＋2x)m＝y－x－2恒成立，即y＝mx2＋(2m＋1)x＋2恒成立，因此函数y＝mx2＋(2m＋1)x＋2一定过（-2，0），（0，2）两点.
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