2017年新疆乌鲁木齐中考填空压轴(抛物线的性质相关)

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（2017•乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax²+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x=1，有下列结论：①abc＜0；②10a+3b+c＞0；③抛物线经过点（4，y₁）与点（﹣3，y₂），则y₁＞y₂；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣c/a，0）；⑤am²+bm+a≥0，其中所有正确的结论是__________．

【解析】①由图象可知：抛物线开口向上，所以a＞0；对称轴在y轴右侧，则，得a与b异号，所以b＜0；抛物线与y轴交于负半轴，所以c＜0，得到abc＞0，因此①错误.

②由抛物线y=ax²+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x=1，根据对称性知：抛物线y=ax²+bx+c必过点（3，0），得到：当x=3时，y=9a+3b+c=0，所以10a+3b+c＝9a+3b+c+a=a>0，所以②正确；

③由“对称轴为x=1，且开口向上”知：与对称轴的距离越远，所对应的函数值越大，而横坐标为4和－3点与对称轴（直线x=1）的距离分别为3和4（3＜4），所以y₁＜y₂，因此③是错误.

④法一：

因为抛物线经过点（﹣1，0）

有：当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0，

所以当x=﹣c/a时，y=0，

即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣c/a，0），故④正确；

法二：由抛物线经过点（﹣1，0），

可得：a﹣b+c=0，

进一步得到：b=a+c，

所以y=ax²+(a+c)x+c

         =(ax+c)(x+1)

当y=0时，可得:

       x₁=－1，x₂＝－c/a,

即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣c/a，0），故④正确；

⑤由图象和对称轴为直线x=1知：当x=1时函数取得最小值（为a+b+c），因此当x=m时对应的函数值≥此函数的最小值.

       因为当x=m时，y=am²+bm+c.

       所以am²+bm+c≥a+b+c，

              即am²+bm≥a+b，

又对称轴x=－b/a=1

       得到：b=﹣2a，

所以am²+bm≥a﹣2a，

即am²+bm+a≥0，

因此⑤正确；

综上所述，本题的答案为：②④⑤．

【反思】本题难度不大，但综合运用了二次函数及图象的相关性质、抛物线的特殊点的坐标特点和性质，其中第③和⑤问要通过“数形结合”能更好解决，此类试题是中考复习的一份好材料，务必要注意体会.

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【延伸训练】

如图，抛物线y=ax²+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x=1．

（1）当x为何值时，y<0?

（2）已知不论t为何值，当x=t时，y≥－4，若k为实数，试根据k的取值讨论关于x方程｜ax²+bx+c｜＝k根的情况?

答案：（1）当－1＜x＜3时，y<0；

（2）当k<0时，原方程没有实数根；当k=0或k>4时，原方程有两个不相等的实数根；当0<k<4时，原方程有四个不相等的实数根；当k=4时，原方程有四个实数根，其中有两实数根相同.

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