2017年重庆中考填空压轴(正方形与轴对称)

Original 2018-01-04 永泰一中　张祖冬 初中数学延伸课堂

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（2017•重庆）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是________．

【图文解析】

由“直角”不难想到下列辅助线（之前已有多篇文章分析，均有四种添加辅助线的方法，不再赘述）

得到DE＝EF，同时FQ＝QB＝1.

进一步，得到：

同时，由AB∥CD，可得△AFG∽CDG，如下图示，下面先求出EG的长，根据对称即可得到EM的长.

通过勾股定理，可求得DM的长.

通过GM∥DE证得△HNM∽△END，得到对应比例式，求得EN和MN.

小结：利用“直角”作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形对应边相等得到FQ=BQ=PE=1，△DEF是等腰直角三角形，利用勾理计算DE=EF=根号10，进一步得到：PD=3，利用平行相似证明△DGC∽△FGA，列比例式可得FG和CG的长，从而得EG的长，根据△GHF是等腰直角三角形，得GH和FH的长，利用DE∥GM证明△DEN∽△MNH，得到EN的长，从而计算出△EMN各边的长，相加可得周长．