2017年浙江绍兴中考填空压轴(等腰三角形与圆)

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（2017•绍兴）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是________________．

【图文解析】

总体思路：根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边作垂直平分线与OB的交点也是满足条件的点P，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．

先讨论特殊位置时的情况

①如下图示，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；

②如下图示，以N为圆心，以4为半径画圆，当⊙N与OB相切时，如下图示，此时x=4×根号2－4，有三个点满足条件。

③如下图示，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙N与OB相切时，如下图示，此时x=4×根号2，有二个点满足条件。

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【反思】通过数形结合的思想解决问题，解题的关键是熟练掌握已知一边，如何作等腰三角形．综合了圆的相关知识，同时需要分类讨论思想（特殊情况和一般情况的分类），难度较大，需要一定的耐心，以及对作图、等腰三角形与圆的相关知识融合掌握的熟练程度。 

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