九上期末复习系列－抛物线中相似、全等三角形的存在问题

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如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C的抛物线y=ax²-(6a-2)x+b与直线AC交于点B(4,3).

1）求抛物线的解析式；

【解析】

易得：C(0,1)，再把B(4,3)、C(0,1)代入抛物线可得：a=3/4, b=1.

抛物线解析式为：

2）已知点P在x轴上（点P不与点O重合），连接CP，若△AOC与△ACP相似，求点P的坐标；

【图文解析】

如下图示：

3）若点Q（m,0），连接BQ，若△ABQ与△AOC相似，求M的值；

【图文解析】

①如下图示：

当BQ⊥x轴时，△AQB ~△AOC;

此时Q(4,0)；所以：m=4；

②如下图示：

4）若抛物线的对称轴与BC相交于点Q，点P是抛物线对称轴上的动点，（P不与Q重合）是否存在点P，使得以P,B,Q为顶点的三角形与△AOC相似， 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

【图文解析】

可得抛物线对称轴为：直线x=5/3;

所以：Q(5/3,11/6)；

①如下图示：

当∠BPQ=90°，即：BP// x轴时，

△BPQ ~△AOC;

所以：P(5/3，3)。

②如下图示：

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5）连接BO，点S是抛物线CB段上的动点，过S作SK//x轴，交BO于点K,是否存在点S，使得△AOB∼△SKO，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

【图文解析】

如下图示：

6） 点M是AB上的动点，过M作MN⊥x轴于点N，点G在点N的右侧，连接MG，是否存在点M，使得△MNG与△AOC全等，若存在，求出点G的坐标；若不存在，说明理由；

【图文解析】

①如下图示：

【反思】

对于此类（相似、全等）问题，一定要具备分类讨论思想和数形结合思想。当边与角的对应关系发生变化时，结论往往也会相应地发生改变。可借助以下步骤：

1）假设结论成立：分情况（对应角的不同情况）讨论，剔除不符合的情况；

2）设未知量，求边长：直接或间接设出所求点的坐标，表示出所求三角形的边长；

3）建立关系式，并计算：由对应边相等（或对应边成比例）的式子，求出未知量，再计算得出相应的点的坐标.

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