2017年广西贵港中考选择压轴(正方形与相似)

Original 2018-01-09 永泰一中　张祖冬 初中数学延伸课堂

（点击“初中数学延伸课堂”关注)

（2017·贵港）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN²+CM²=MN²；⑤若AB=2，则S_△OMN的最小值是0.5，其中正确结论的个数是（　　）.

【图文解析】

①如下图示，不难证明是△CNB≌△DMC（ASA）.

②如下图示，通过全等，可得到OM＝ON，且∠BON＝∠COM.进一步得到∠MON＝∠BOC＝90⁰，

故②正确；

③前已经证得△MON和△AOD均为等腰直角三角形，因此△OMN∽△OAD，故③正确.

④如下图示，由①证得全等，可得到CM＝BN，又AB＝BC，进一步又得BM＝AN，在Rt△BMN中，由勾股定理，得：BM²+BN²=MN²，所以AN²+CM²=MN²，故④正确；

所以当x=1时，△MNB的面积有最大值为1/2，故⑤正确.

综上所述，正确结论的个数是5个，故选D．

【练习】如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是直线BC上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与直线AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN²+CM²=MN²；⑤若AB=2，则S_△_OMN的最小值是0.5，其中正确结论的个数是（　）.