九上期末质检复习系列——纯函数系列（1）
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已知抛物线C：y=x2﹣（m+1）x+1的顶点在坐标轴上．
（1）求m的值；
（2）当m＞0时，抛物线C向下平移n（n＞0）个单位后与抛物线C1：y=ax2+bx+c关于y轴对称，且C1过点（n，3），求C1的函数关系式；
（3）当﹣3＜m＜0时，抛物线C的顶点为M，问在直线x=﹣1上是否存在一点Q，使得抛物线C绕Q点旋转1800后得到的新抛物线与x轴只有一个交点，求旋转后的抛物线解析式.
【解析】
（1）顶点在坐标轴上，说明顶点可能在x轴上，也可以在y轴上.
当抛物线C的顶点在x轴上时，由△=[﹣（m+1）]2﹣4=0，得m=1或m=﹣3；
当抛物线C的顶点在y轴上时，由﹣（m+1）=0，得m=﹣1.
综上所述，m=±1或m=﹣3，
（2）由（1）知m=±1或m=﹣3，又因m＞0时， 所以m=1，所以抛物线C的解析式为y=x2﹣2x+1＝(x－1)2，当该抛物线向下平移n（n＞0）个单位后得到y=(x－1)2﹣n，得顶点坐标为（1，n），由于此时的抛物线与抛物线C1：y=ax2+bx+c关于y轴对称（已知），所以抛物线C1的顶点为(－1，－n)，且a＝1，得到抛物线C1为y= (x+1)2﹣n.
又因抛物线C1过点（n，3），所以n2+2n+1﹣n=3，即n2+n﹣2=0，解得n1=1，n2=﹣2（由题意n＞0，舍去）得到n=1.因此抛物线C1：y=x2+2x，
（3）由（1）知： m=±1或m=﹣3，又因﹣3＜m＜0时， 所以m=－1，所以抛物线C的解析式为y=x2+1，其顶点M（0，1）.
如下图示，设Q(－1，t)，则顶点M绕Q点旋转1800后得到M’(－2，2t－1)，由于新抛物线与x轴只有一个交点，所以Q’的纵坐标为0，即M’(－2，2t－1)，因此所求的抛物线的解析式为：y=(x+2)2
【反思】本题不难，但试题涵盖平移、对称和旋转等三大变换，第（3）小题通过数形结合不难求得，整个试题的拓展性强，是一道非常好的基本题。
纯函数系列（2）——预告
【反思】在平面直角坐标系xOy中，定义直线y=ax+b为抛物线y=ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．设抛物线y=ax2+bx与其特征直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为____________；
（2）若抛物线y=ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；
（3）设抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE∥CF．
①若特征点C为直线y=﹣4x上一点，求点D及点C的坐标；
②若0.5＜OE/OD＜2，则b的取值范围是____________．
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