九上期末质检复习系列——纯函数系列（4）

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已知：抛物线C₁： y=x²－2a x+2a+2 顶点P在另一个函数图象C₂上，

（1）求证： 抛物线C₁必过定点A（1，3）；并用含的a式子表示顶点P的坐标；

（2）当抛物线C₁的顶点P达到最高位置时，求抛物线C₁解析式；并判断是否存在实数m、n，当m≤x≤n时恰有3m≤y≤3n，若存在，求出求m、n的值；若不存在，说明理由；

（3）抛物线C₁和图象C₂分别与y轴交于B、C点，当△ABC为等腰三角形，求a的值．

【图文解析】

1)  方法1：

C₁：y=x²－2a x+2a+2

=x²－2a(x-1)+2

令 2a(x-1)＝0，则 x=1;

代入可得：y=3.

所以，过定点A(1,3).

方法2(直接代入）：

当x=1时，y=1-2a+2a+2=3;

所以，过定点A(1,3).

再化一般式为顶点式：

y=x²－2a x+2a+2 

=(x-a)²-a²+2a+2;

所以顶点P(a,-a²+2a+2).

2) 抛物线C₁的顶点P达到最高位置时,也就是点P的纵坐标取最大值时；

可以令k=-a²+2a+2=-(a-1)²+3;

当a=1时，k有最大值为3；此时P(1,3);

所以：y=x²－2 x+4 =(x-1)²+3 ≥ 3;

∵ 当m≤x≤n时恰有3m≤y≤3n

可得： 3≤3m≤y≤3n;  ∴1≤m≤n

如下图示：

由增减性可得：当1≤m≤x≤n ，y随x的增大面增大； 当x= m时， y= 3m，当x= n时，y= 3 n；

因为1 ≤ m ≤n；

所以： m=1; n=4.

3) 如下图示：

∵ 抛物线C₁： y=x²－2a x+2a+2 与

y轴交于B点；

∴ B（0，2a+2）

∵ 顶点P(a,-a²+2a+2)在函数C₂上，

∴ C₂的解析式为：y=－x ²+2x+2；

图象C₂与y轴交于C点；

∴C（0，2）

∵A（1，3）

由勾股定理得：

∵△ABC为等腰三角形

∴ 分三种情况讨论：

【反思】

本题是二次函数的综合题型，综合性较强，有一定的难度，并且含有参数。这一类题型往往是学生就最头疼的。运用数形结合思想、分类讨论思想及方程思想是解题的关键．

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