九上期末质检复习系列——纯函数系列（6）
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【试题】在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．
（1）若点P（2，m）是反比例函数y=n/x（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+3，试求出t的取值范围．
【解析】（1）先由“梦之点”的定义得出m=2，再将点P坐标代入y=n/x，即可求出反比例函数的解析式，具体过程如下：
∵点P（2，m）是“梦之点”，∴m=2，
∵点P（2，2）在反比例函数y=n/x（n为常数，n≠0）的图象上，∴n=2×2=4，
∴反比例函数的解析式为y=4/x；
（2）假设函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），根据“梦之点”的定义有：x=3kx+s﹣1，整理得（3k﹣1）x=1﹣s，再分下列三种情况讨论：
当3k﹣1≠0，即k≠1/3时，解得x=（1－s）/（3k－1）；
当3k﹣1=0，1﹣s=0，即k=1/3，s=1时，x有无数多个解；
当3k﹣1=0，1﹣s≠0，即k=1/3，s≠1时，x无解；
根据方程的根的定义可知x1，x2是一元二次方程ax2+（b﹣1）x+1=0的两个根，由根与系数的关系（若韦达定理不做要求（人教版是选学），可直接用求根公式得到）可得：
下面再结合已知“﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2、x1x2=1/a”求出a的取值范围.
由﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2可得：
x1﹣x2=2或－2，所以x2＝x1－2或x2＝x1+2，又因﹣2＜x1＜2，所以﹣4＜x2＜0或0＜x2＜4，因此﹣4＜x2＜4.
进一步得到：﹣8＜x1•x2＜8.即﹣8＜1/a＜8，同时因a＞0，所以a＞1/8.
而t=（2a+1）2+1．显然当a＞－1/2（在对称轴a=－1/2的右侧）时，t随a的增大而增大，所以t=(2a+1)2+1＞(2×1/8+1)2+1＝25/16+1＝41/16，∴t＞41/16．
【反思】注意两点：（1）形如ax=b的方程的解的情况讨论；（2）题中由“﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2、x1x2=1/a”求出a的取值范围.注意体会解题思路.
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