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2017年广西河驰中考填空压轴(矩形与相似三角)
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(2017·河池)如图,在矩形ABCD中,AB=根号2,E是BC的中点,AE⊥BD于点F,则CF的长是_____.
【图文解析】
由AD∥BC,得△BEF∽△DAF,进一步得到AF:EF=AD:BE=2,因此可设:(如下图示)
同时图中又有常见的基本图“Rt△斜边上的高”,如下图示,
分别在Rt△ABF和Rt△ABE中,由三角函数的定义,可得:cos∠1=AF/AB=AB/AE,即AB2=AF×AE,相关数据代入,得:
再回到CF所在的△BCF,已知BC=2,BF=(根号6)/3,同时∠EBF的三角函数值均可求,因此可在△BCF中求也CF的长,为此可过F点作FM⊥BC,垂足为M(常法,转化为解直角三角形问题),如下图示:
(当然,也可由三角形面积公式得,也可用相似得),类似(或用勾股定理)可得BM=2/3,所以CE=BC-BM=4/3.
最后在△CMF中,由勾定理,得:
还可以建立坐标系,通过求直线AE与BD交点F的坐标,再进一步利用勾股定理得到CF的长.
【反思】借助直角三角形,相似与锐角三角函数的定义其实是相通的,而往往用三角函数的概念解题更方便.
【拓展】如图,在矩形ABCD中,AB=根号2,E是BC的中点,AE⊥BD于点F,连接CF并延长,交AB于G,求FG的长.
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