【适合八九年级】常考的几何动态题——三角形与四边形(2)(菱形与动点)

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【说明】本系列的试题难度不大，但综合性均较强，尤其是在训练读图、画图、识图、作图及变式方面有一定的帮助作用，同时本系列试题多数适合于中考中的中档题，阅读时务必要体会“动中有静”的动态变化思想.

【试题】在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A⇒B⇒C向终点C运动，连接DM交AC于点N．

（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN：

      ①求证：△ABN≌△ADN；

      ②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求点M到AD的距离及tanα的值．

（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．

【图文解析】

（1）①如下图示：

△ABN和△ADN中，根据菱形的性质，不难得出AB=AD，∠DAC=∠CAB，AN是公共边，根据SAS即可判定两三角形全等．

②说明：要求距离和tanα的值，必须转化到直角三角形中，可利用勾股定理和三角函数的定义求解.

      标注已知条件，作出相应的高，如下图示（同时由△ABN≌△ADN得∠ADN＝∠ABN＝α）.

      在Rt△AMH中，MH＝AM×sin∠MAH＝4sin60⁰=2×根号3，同时AH＝4cos60⁰=2；在Rt△AMH中，DH＝AD+AH＝6+2=8，MH＝2×根号3，所以有：

（2）显然要分三种情况即：当DN=AN，DN=AD，AN=AD时，分别进行讨论．每一种情况必须画出相应的图形，再通过转化为直角三角形解决。其中点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．

①当DN=AN时，如下图示，

此时M点与B点重合，即此时x=6.

②当DN=AD时，如下图示，

      此时M点、N点均与C点重合，即此时x=12.

      综上所述，当x=6或12或18﹣6×根号2时，△ADN是等腰三角形．

【反思】本题较易，但同样综合了相关知识，同时渗透了分类讨论思想，画出符合条件的图形是解题的关键.

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【拓展1】如图，在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A⇒B⇒C向终点C运动，连接DM交AC于点N．若∠ABC=60°，AM=4，求MN的长．

【拓展2】如图，在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A⇒B⇒C向终点C运动，连接DM交AC于点N．若∠ABC=60°，AM+BM＝10，求MN的长．

【拓展3】在原题的（2）的条件下，当x为何值时，△BMN为等腰三角形？△BCN为直角三角形？（本题与原题解法类似，不做解析）

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