2017-2018年度福建厦门九上质检倒一解析

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（2017-2018·厦门九上质检倒一）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在抛物线y＝x²＋bx＋c（b＞0）上，且A（1，－1），

（1）若b－c＝4，求b，c的值；

（2）若该抛物线与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，则命题“对于任意的一个k（0＜k＜1），都存在b，使得OC＝k·OB.”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例；

（3）将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过（1，－1），点A的对应点A₁为（1－m，2b－1）.当m≥－3/2时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标.

【解析】

（1）简析：直接将A（1，－1）代入，再与已知b－c＝4联立，得到二元一次方程组，解之即可.过程如下：

      依题意，把（1，－1）代入y＝x²＋bx＋c，可得b＋c＝－2，又因为b－c＝4，可得b＝1，c＝－3.  

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（2）由“该抛物线与y轴交于点B”得到B（0，c），从而OB＝|c|，再由“其对称轴与x轴交于点C”，得到C（－0.5b，0），从而OC＝|0.5b|＝0.5b（因b>0——已知）.

      同时由（1）知：b＋c＝－2（抛物线过A（1，－1）），得到c=－2－b＜－2＜0，因此OB＝|c|＝－c=2+b.

      若命题“对于任意的一个k（0＜k＜1），都存在b，使得OC＝k·OB.”正确，则有：当0＜k＜1时，0.5b＝k(2+b)（b>0）均成立，即（整理，得）(1－2k)b=4k成立.

      同时不难通过检验，当k=1/2时，也不能满足OC＝0.5OB.

      综上知，当0＜k<0.5时，才可能存在b，使OC＝k·OB，因此原命题是不正确，可取0.5≤k<1中的任意一个k的值说明即可.

如取k=0.5，当k＝0.5时，由OC＝0.5OB得0.5b＝0.5（2＋b），此时b的值不存在.又如取k＝3/4，当k＝3/4时，由OC＝3/4OB得0.5b＝3/4（2＋b），此时b＝－6＜0不合题意. …….    

所以对于任意的0＜k＜1，不一定存在b，使得OC＝k·OB . 

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 （3）由题中平移前后的对应点A（1，－1）和A₁（1－m，2b－1）可知抛物线的平移规律（这两点的横纵坐标如何变化，对应平移前后顶点的横纵坐标也相应地同样的变化），因此若设平移后的抛物线的解析式为y=(x－h)²+k，则原抛物线的解析可设为y=(x－h－m)²+k－2b.

      （强调：此处万不可写错，平移后的顶点为（h，k），平移前的顶点为(h+m，k－2b)，应检查对应前后横纵坐标变化情况，与点A₁、A横纵坐标变化是否一致.）

      于是本题就转化为：当k最大时，对应的顶点坐标（h，k）.

      由于平移前后的抛物线均经过A（1，－1）点，显然代入上述均成立，因此有：

【下面求解本题的最终答案】（平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标.）

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【反思】厦门的试题，真的很有深意，仅是平移就能考出这么有“味道”的试题，学习和解析厦门的试题收获甚多.本文的解法，仅是本人的一个思路，不足之处，请朋友们多指教，谢谢！

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