2017-2018年度福建南平九上质检倒一题解析
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(2017-2018南平九上质检倒一)
如图，在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A（0，4），B（2，0），C（－2，0）三点.
(1)求二次函数的解析式；
(2)在x轴上有一点D（－4，0），将二次函数图象沿DA方向平移，使图象再次经过点B.
①求平移后图象顶点E的坐标；
②求图象A，B两点间的曲线部分在平移过程中所扫过的面积.
【图文解析】
（1）常规题：直接代入求出，或者依题意知顶点为（0，4），可得y=ax2+4，再将B或C点坐标代入，求得a=-1，所以抛物线解析式为：y=－x2+4.
（2）由点D、A的坐标，不难求出直线DA为y=x+4，因将二次函数图象沿DA方向平移，顶点仍然在直线DA上，则可设平移后的顶点E（m，m+4），此时抛物线的解析式为：y=－(x-m)2+m+4.
又因平移后的抛物线经过点B，所以可将点B（2，0）代入对应的解析式，即：－(2-m)2+m+4＝0，求得m的值为m=0(不合题意，舍去)或m=5，所以E（5，9）.
①上述已经解析，E（5，9）.
②如下图示：下图中的阴影部分面积就是所求的面积.
显然直接计算，初中阶段无能为力，因此必须通过转化，如下图示：
根据抛物线的对称性和平移的性质，显然上图中的两个阴影部分的面积相等.所以所求的阴影部分面积，就可以转化为平行四边形ABGE的面积，如下图示：
连接BE，由于四边形ABGE为平行四边形，可根据S四边形ABGE＝2S△ABE进行求解，不必求出G点坐标。（当然也可根据平移特征：A（0，4）→E（5，9），对应地B（2，0）平移后的点G应为（7，5），再求平行四边形的面积）.
求解△ABE的面积方法多种，本公众号中的“2017年福建倒一“（点击标题直接打开）中的最后一小题，提供六种在坐标系中求面积的方法，其解题思路均是“化斜为直”，“化一般为特殊”，利用点的坐标特点，得到相关的线段和距离，进一步得到所求的面积.
对于本题，下面仅提供一种最快，且计算量最小的解法，有兴趣的朋友可以打开上述的链接查看其他解法.
过B作y轴的平行线交直线DA于M点，不难得到M（2，6）.如下图示：
则有S△ABE＝S△BMA+S△BME
=0.5BM×h1+0.5BM×h2
=0.5BM(h1+ h2)=0.5yM·xE
=0.5×6×5＝15.
所以四边形ABGE的面积为2×15＝30，从而所求的面积为30.
【反思】本题解析中，充分利用的转化思想：不规则图形的面积转化为规则图形面积，“斜化直“等，在压轴题中经常通过这样转化得以解决，务必要引起特别重视.
【拓展】若平移后的抛物线与x轴相交的右交点为F，且∠AFE＝450，求F点坐标.（试试看！）
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