2018年九下质检系列——福建晋江倒二题
声明：“初中数学延伸课堂”的所有文章，版权所有。欢迎并感谢朋友们分享和转发，但未经许可，不得在任何公共场合使用、开发及转载，违者必究！
建议阅读：如何快速查找到“初中数学延伸课堂”的相关文章（直接点击打开）.
打开微信，点击“发现”，点击“搜索”，再点击“资讯(或文章）（这一步骤最重要）“，在跳出的对话框中输入“初中数学延伸课堂”，然后点击“初中数学延伸课堂”，继续输入“关键词”（如：福州），再点击“搜索”，就会得到所有标题或内容中含”福州“的文章，类似于“百度”搜索.
几何画板教学视频免费教程（622分钟）：关注公众号（扫描上述二维码）后，输入“1”就可得到学习地址（需手机注册——免费）
（2018·福建晋江九下质检倒二）如图，在平面直角坐标系中，点C在y轴的正半轴上，点A（-9/2，0），点B（8，0），AC⊥BC.
（1）直接写出OC与BC的长；
（2）期中△ACB绕着点C逆时针旋转900得到△EFC，其中点A、B的对应点分别是点E、F，求点F的坐标；
（3）在线段AB上是否存在点T，使得以CT为直径的⊙D与边BC相交于点Q（点Q异于点C），且△BQO是以QB为腰的等腰三角形？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.
【图文解析】
(1)图中有最常见的基本图形——Rt△斜边上的高，已具备两个条件（由A、C两点坐标可知：OA＝4.5，OB＝8）可用多种方法求解OC和BC，如下：
法一：勾股定理法（最繁，但易想到且实用，属于中及以下同学均会掌握的）：分别利用图中的三个直角三角形根据勾股定理可得：AC2＝4.52+OC2，BC2＝82+OC2，再代入AC2+BC2＝AB2可得到关于OC的一元二次方程，求出OC＝6，进一步可求得BC＝10.
如下图示：
法二：利用相似.不难证得△AOC∽△COB，得到OA/OC＝OC/OB，再将相关数据代入即可求得OC的长，进一步得到AB的长.
法三：三角函数法.不难证得∠CAO＝∠BCO，分别在Rt△AOC和Rt△BOC中，由三角函数的定义可得：tan∠CAO＝OC/OA＝OB/OC＝tan∠BCO，……（其实与相似法相同，在直角三角形中，“相似与三角函数”本是一家.）
(2)首先画出符合题意的图形，如下图示：
由题意，不难得到：CE＝AC＝7.5（Rt△AOC中，根据勾股定理可求得），CF＝BC＝10，EF＝AB＝8+4.5＝12.5.在坐标系中，求点的坐标往往通过构造x轴或y轴的平行线（或垂线）得到直角三角形，通过相似或三角函数或勾股定理解决，下面通过两种“构图”方法求解F点的坐标（本质相同）.
思路一：如下图示，由sin∠2＝sin∠1得：FH/10＝4.5/7.5，解得FH＝6，同理由cos∠2＝cos∠1得：CH/10＝6/7.5，解得CH＝8，得到OH＝OC+CH＝8+6＝14.
或：通过下列两直角三角形全等，可得：
思路二：如下图示，
通过相似或三角函数的定义或平行线分线段成比例定理，不难求得EG和OG的长，进一步得到F点的坐标.
(3)（先根据题意，想象出点T运动时，点Q和△BOQ的形状是如何变化的？观察下列动态图）
法一：如下图示，不难证得Q是BC的中点，所以BQ＝CQ＝5，分别在Rt△BQT和Rt△BOC中，由cos∠B＝BQ/BT=OB/BC得：5/BT＝8/10，解得BT＝25/4，进一步得到OT＝7/4，所以点T的坐标为（7/4，0）.
法二：如下图示，在Rt△OCT中，根据勾股定理，有：62+t2=(8-t)2，解得t=7/4.……
第二种情况：当QB＝OB时，如下图示，显然有QB＝OB＝8，QT∥AC.同时AB＝4.5+8＝12.5.由平行线分线段成比例定理，不以得到：QB/BC＝BT/AB，即8/10＝BT/12.5，解得BT＝10，得OT＝2，所以T（－2，0）.
综上，满足题意的点的坐标是（－2，0）或（7/4，0）.
(别忘了给作者一个鼓励，点个赞哦！)
特别说明：进入公众号，回复“1,2,3…14,888”中的任意一个”数“，可查找到相应资料.
强烈推荐：
《顶尖中考微专题》例、习题视频讲解(共1487分钟)—与书配套视频