2018年九下质检系列——福建惠安倒二题

---

声明：“初中数学延伸课堂”的所有文章，版权所有。欢迎并感谢朋友们分享和转发，但未经许可，不得在任何公共场合使用、开发及转载，违者必究！

---

---

建议阅读：

（直接点击标题打开，上述两种方法均可！）.

查找本公众号的相关文章，如同在“百度”中查找资料，只需输入关键词，就会找出一系列与关键词相关的内容（标题与内容中含关键词的文章）全部查找出来，非常方便，试试看！

---

几何画板教学视频免费教程（622分钟）：关注公众号（扫描上述二维码）后，输入“1”就可得到学习地址（需手机注册——免费）.至2018.4.23日止，已超过8000个小时的播放量.

（2018·福建惠安九下质检倒二）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2．若点D在AB边上滑动(不与点A、B重合)，并始终保持∠CDE=60°，DE与BC边交于点E．

(1)分别写出∠B和边长AB的大小；

(2)当△BDE为等腰三角形时，求AD的长；

(3)在点D的滑动过程中，求出线段EB长的最大值．

---

【图文解析】

(1)答案：∠B＝30⁰，AB＝4.

(2)显然要分三种情况考虑：

当BE＝DE时，如下图示：

不难得到AD＝1；

当BD＝BE时，

      △ACD中已知三个元素，△ACD可解，显然必须通过添加高线，构造直角三角形解决）如下图示，得到：

得到：AD＝1+√3.

当BD＝DE时，由图形上直观观察是不可能（要善于想象和猜想），实际上也是如此，下面给出证明：

如上图：∠BED＞∠CDE＝60⁰而∠B＝30⁰，即∠BED＞∠，因此BD＝DE不可能.

    综合所述，当△BDE为等腰三角形时， AD的长为1或1+√3.

---

---

(3)由题意中的条件∠CDE＝∠A＝60⁰，同时D为动点，容易联想到构造“一线三等角“（本公众号也有较多相关文章，可点击“如何快速查找到本公众号的文章（2）”（输入关键词“三等角”），可获得相类似的系列文章，有兴趣的朋友可试试看），因此可添加如下图所示的辅助线：（即作∠EFD＝60⁰）

      则不难得到△ACD∽FDE，且△BEF为等腰三角形，进一步又有：

若设AD＝x，EF＝y，则有：

由△ACD∽FDE得：CA/AD＝DF/EF，即2/x＝(4－x－y)/y，整理，得：

x²+(y－4)x+2y=0.同时有：

得：BE＝2BG=√3·y.

      因此求线段BE长的最值问题，就转化为就y(即EF或BF)的最值问题.下面通过两种方法求y的最值.

法一：判别式法（本公众号也有较多的类似文章和专题文章）

      上述已得x²+(y－4)x+2y=0.显然关于x的一元二次方程有实根，因此有：△＝(y－4)²-8y=y²－16y+16≥0，配方，得：(y-8)²－48≥0，左边因式分解，得：

（y-8+4√3）（y-8－4√3）≥0

由于0＜y＜4，得y-8－4√3＜0，

所以y-8+4√3≤0，

即y≤8－4√3.

（此时求y的取值也可结合抛物线的图象和性质进行求解）

因此所求的BE长的最小值为：

√3（8－4√3）＝8√3－12.

法二：利用配方和反比例函数的性质

由x²+(y－4)x+2y=0可得：

   因此问题又转化为求下列式子的最值问题.

（类似于2017年福建省考倒一中最后一小题的计算相关——直接点击可打开）.

      为了计算简便，进一步设a=x+2，问题又转化为求a+12/a的最值了.显然有a>0，同时有:

---

---

(别忘了给作者一个鼓励，点个赞哦！)

特别说明：进入公众号，回复“1,2,3…14,888”中的任意一个”数“，可查找到相应资料.

---

强烈推荐：

初中数学中考第一轮复习视频(34课时)