2018年福州屏东与泉七九下质检(一)联考倒二——文中至少提到七种解法（实际上超过12种以上的解法）
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(2018年福州屏东与泉七九下质检(一)联考倒二)如图,在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，动点Q在边AB上，连接CQ，将△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN，延长QN交直线CD于点M．
(1)当BQ=1时，求DM的长；
(2)过点D作DP⊥CQ于点E，交直线BC于点P，直线QN与直线DP交于点F．当DF/DE＝1/3时，求BQ的长．
【图文解析】
（1）由“对折”不难得到“等腰”（重要），如下图示：
设DM＝x，将相关数据标上，如下图示：
在Rt△CMN中，由勾股定理，得：
42+(5+x)2=(6+x)2
解得：x=2.5. 即DM＝2.5.
（2）先画出符合是题意的图，并由题意，不难理解需分两种情况，如下图示（本题画图是关键）：
下面先分析情形一（即点M在CD的延长线上时），不难得到MD＝MF，即△MDF为等腰三角形，如下图示：
结合已知条件DF/DE＝13和DP⊥CQ，可添加如下图示的辅助线：
首先，根据“三线合一”可得DH＝0.5DF，又DF/DE＝1/3，可得DH/DE＝1/6.
其次，由MH∥CQ（易证），可得到DM/CD＝DH/DE＝1/6，成功进行“斜化直”转化（几何中常见的解题思路，务必熟练掌握），得DM＝1/6CD＝1.
最后，类似第一问的解法，利用勾股定理，可求得BQ的长，如下图示：
在Rt△CMN中，由勾股定理，得：
42+(6+1－t)2=(6+1)2
解得t=7－√33. 即BQ＝7－√33.
情形二：（即点M在边CD上时），类似于情形一，可求得BQ＝2，如下图示：
（最后一步计算，可直接利用勾股定理，求出MN后，再进行加减）.
综上所述，BQ＝BQ＝7－√33或2.
当然，本题也可通过如下方法求解：
(写解题文章也不容易，坚持不间断地坚持写更不容易，坚持到今天，更多的来自朋友们的鼓励和关注！您的点赞，就是给予我一份信心，别忘了，给作者一个鼓励，点个赞哦！)
下面还有，继续……
还可以用以下方法（下面只画第二种情况（图形空间占的小些），第一种情况类似）：
还有……，至少12种以上的解法（还不包括建系解析法、辅助圆法、旋转法，对称法等.哈哈！本公众号中类似的试题的相应解法均有多篇文章，有兴趣的朋友，通过本文开始提供的方法快速搜索到本公众号的相关文章）.
实际上，就是以下这个基本图形：
其实，过这个图形中的任意一点作任意一线段的平行线，均可得解，主要思路用的都是平行线分线段成比例定理（或相似），本公众号中已有文章详细说明其多种解法：九下尖子生培优系列(78)——相似（3）（直接点击标题打开），文中的试题如下：
【反思】在平行四边形中，有折叠（对称）必有“等腰“，同时在矩形的背景下有很多平行与直角，再与已经条件综合，不难得到一系列的相似或相关比例，当然也可用三角函数定义来求解.
【拓展】如果在题干不改变的情况下，能否通过动态变形为如下图形，编出或得到一些相关的有趣的试题或结论呢？请注意观察与原题图的区别与联系.
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