九下尖子生培优系列(78) ——相似（3）

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【例题】如图，△ABC中，D在BC上，F是AD的中点，连CF并延长交AB于E，已知CD/BD=n，求AE：BE的值.

【解析】本题有超过12种以上的解法（均类似），过图中任意点作任意一条线段的平行线均可求出（均根据平行线分线段成比例定理），只是计算有繁有简，下面仅提供五种常用的解法。为了书写方便，由CD/BD=n不妨设BD=1，则CD=n.

      法一：过F作BC的平行线交AB于M，如下图示，不难证得M是AB的中点.

      从而AE＝AM－ME＝2nt，

      因此AE：BE＝2nt：2(1+n)t＝n/(1+n).

      法二：过D点作DM∥AB交CE于M，如下图示，不难得到：

法三：过D点作DM∥CE交AB于M，如下图示，不难得到：

法四：过A点作AM∥CF交BC的延长线于M，如下图示，不难得到：

法五：过F点作FM∥AB交BC于M，如下图示，不难得到：

【反思】本题的所有解法的本质都是利用“平行线分线段成比例定理（三角形的中位线的逆命题）的相关知识. 

【练习】如图，△ABC中，D在BC的反向延长线上，F在AD上，且AF：FD＝2：1，连CF并延长交AB于E，已知CD：BD=3：1，求AE：BE的值.

【解析】与例题类似，同样有多种解法，仅以一种解法解析.

       由CD：BD=3：1，可设BD＝a，则CD＝3a，BC＝2a.过B点作BM∥AD交CF于M点，则有△BCM∽△DCF，再设BM＝t，不难得到DF＝1.5t.如下图示：

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