2018年九下质检系列——福建龙岩压轴(倒二 )
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(2018龙岩九下质检倒二）
如图，边长为6的正方形ABCD中，E、F分别是AD、AB上的点，AP⊥BE，P为垂足.
（1）如图，AF=BF,AE=2根号3，点T是射线PF上的一个动点，则当△ABT为直角三角形时，求AT的长.
（2）如图，若AE=AF,连接CP，求证：CP⊥FP.
【图文解析】
本题主要考查学生“分类讨论”的解题能力，转化迁移能力；涉及四边形、圆、相似等知识的考查.知识考查面广.
【简析】（1）如上图，△ABT为直角三角形时，情况有下面三种：
AE=2根号3，AB=6，tanABE=根号3/3，∠ABE=30°.
（如图3）T1与P重合时，AT=(1/2)AB=3；
（如图3）T2位置时，AT=BP=3根号3；
（如图4）T3位置时，AT=3根号7
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下面还有，继续……
【简析】（2）△APE∼△BPA⇒(AE/AB)=(AP/PB),AE=AF,AB=BC.（转化,解题关键）
所以(AF/BC)=(AP/PB),易证∠BAP=∠CBP，所以△APF∼△BPC⇒∠1=∠2，
又∠2+∠3=90°⇒∠1+∠3=90°⇒CP⊥PF.
【反思】本题（1）的解题思路易入手，但容易遗漏T与P重合及∠B为直角时的情形（分类要做到不重不漏）；（2）证明“⊥”，往往从证角为直角思考，观察∠1+∠3=90°，又∠2+∠3=90°，自然思考∠1=∠2会不会相等，从而找到解决此题的思路。△APE∼△BPA⇒(AE/AB)=(AP/PB),AE=AF,AB=BC所以(AF/BC)=(AP/PB)（转化,解题关键，平时教学，应注重培养学生这方面的能力素养）
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