中考复习冲刺系列——纯代（函）数压轴选解（4）

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（试题）已知函数y=mx²﹣（2m﹣5）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点．

（1）求m的取值范围，写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；

（2）题（1）中求得的函数记为C₁．

①当n≤x≤﹣1时，函数C₁中y的取值范围是1≤y≤﹣3n，求n的值；

②函数C₂：y=2(x﹣h)²+k的图象由函数C₁的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为√5的圆内或圆上．设函数C₁的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C₂的解析式．

【解析】

（1）函数图形与x轴有两个公共点，则该函数为二次函数且△＞0，则可得到关于m的不等式组，从而可求得m的取值范围；详细过程如下：

∵函数图象与x轴有两个交点，

∴[﹣(2m﹣5)]²﹣4m(m﹣2)>0

 且m≠0，

解得：m＜25/12且m≠0．

∵m为符合条件的最大整数，

∴m=2．

∴函数的解析式为y=2x²+x．

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（2）①与抛物线y=2x²+x对应函数值的取值范围或者最值相关的，均与抛物线的对称轴相关，因此应先求得:抛物线的对称轴为x=－1/4，而当n≤x≤﹣1时，函数图象位于对称轴的左侧，y随x的增大而减小，因此当x=n时，y有最大值﹣3n；当x＝－1时，y取得最小值y=1.详细过程如下：

∵抛物线y=2x²+x的对称轴为

  x=﹣b/(2a) =﹣1/4．

　且n≤x≤﹣1＜﹣1/4，a=2＞0，

∴当n≤x≤﹣1时，

 y随x的增大而减小．

又∵1≤y≤﹣3n

∴当x=n时，y=﹣3n；

　当x=－1时，y=1.

∴2n²+n=﹣3n，

 解得n=﹣2或n=0（舍去）．

∴n的值为﹣2．

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（2）②先求得抛物线y=2x²+x顶点M的坐标为（-1/4，-1/8）（可以通过配方或顶点公式），由于顶点P在以O为圆心，以√5为半径的圆上运动，因此当MP经过圆心时，PM有最大值，结合图形不难求得点P的坐标，如下图示，从而可得到函数C₂的解析式．具体过程如下：

∵y=2x²+x=2（x+1/4）²﹣1/8，

∴M（﹣1/4，﹣1/8）．

      当点P在OM与⊙O的交点处时，PM有最大值．

      设直线OM的解析式为y=kx，将点M的坐标代入得：﹣k/4=﹣1/8，

解得：k=1/2．

      ∴OM的解析式为y=x/2．

设点P的坐标为（x，x/2）．可添加如下图所示的辅助线，

      根据勾股定理，得：OP²=x²+(x/2)²，解得x=2或x=－2（负值舍去）.

∴点P的坐标为（2，1）．

∴当点P与点M距离最大时函数C₂的解析式为y=2(x﹣2)²+1．

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【拓展】第3小题若改为“点P在直线y＝－0.5x+2运动，求点P与点M距离最小时C₂的解析式.

答案：y=2(x﹣13/20)²+67/40.

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