中考复习冲刺系列——纯代（函）数压轴选解（6）

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【试题】定义：若函数y₁与y₂同时满足下列两个条件：

①两个函数的自变量x，都满足a≤x≤b；

②在自变量范围内对于任意的x₁都存在x₂，使得x₁所对应的函数值y₁与x₂所对应的函数值y₂相等． 我们就称y₁与y₂这两个函数为“兄弟函数”．

设函数y₁=x²﹣2x﹣3，y₂=kx﹣1

（1）当k=﹣1时，求出所有使得y₁=y₂成立的x值；

（2）当1≤x≤3时判断函数y₁=3/x与y₂=﹣x+5是不是“兄弟函数”，并说明理由；

（3）已知：当﹣1≤x≤2时，函数y₁=x²﹣2x﹣3与y₂=kx﹣1是“兄弟函数”，试求实数k的取值范围？

【解析】

（1）此题关键是读懂得题意，当k=﹣1时，一次函数为y₂=x－1，要使y₁=y₂，则有：x²﹣2x﹣3=﹣x﹣1，解得：x=2或x=﹣1；

∴x的 值为2或﹣1．

（2）根据“兄弟函数”的定义，可先检查：两图象的交点对应的x的值，符不符合题意，由3/x =﹣x+5，整理，

∴两个根均不在1≤x≤3的范围内，

∴函数y₁=3/x与y₂=﹣x+5是不是“兄弟函数”.

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下面还有，继续……

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（3）联立两函数解析式，得到一个关于x的一元二次方程x²﹣2x﹣3=kx﹣1，整理得x²﹣(2+k)x﹣2=0，再利用兄弟函数的定义，这个一元二次方程在﹣1≤x≤2有解，若设y=x²﹣(2+k)x﹣2，则等价于抛物线在﹣1≤x≤2内与x轴有交点，结合图象，有：当x=－1和2时，y≥0（因此抛物线向上）且△≥0，即：

解不等式组，得k=－1，且满足△＞0.

所以实数k的取值范围：k=﹣1．

【点评】题目考查了新定义类型的试题，关键是理解定义，结合图象综合利用一次函数、二次函数、反比例函数的性质，转化为方程，再利用图象及性质进行解题.

特别说明：进入公众号，回复“1,2,3…14,888”中的任意一个”数“，可查找到相应资料.

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