八下尖子生培优系列——一次函数(9)
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【例1】函数y=2|x﹣3|与y=x﹣a的图象能围成一个平面区域，求实数a的取值范围及这个区域的面积．
【解析】分类讨论：x≥3，x＜3，根据函数图象有交点，可得不等式，根据解不等式，可得答案；再根据三角形面积的和差，可得答案．
【解】如下图：
其中y=2|x﹣3|的图象是端点为A（3，0）的两条向上的射线，y=x﹣a的图象是过P（a，0）倾斜角为45°（与x轴正方向构成450的直线）．
下面先求出两个图象交点的横坐标：
①当x≥3时，2（x﹣3）=x﹣a，
x=6﹣a；6﹣a≥3，
解得a≤3；
②当x＜3时，2（3﹣x）=x﹣a，
x=（6+a）/3，
所以（6+a）/3＜3，
解得a＜3，
所以y=2|x﹣3|与y=x﹣a的图象能围成一个平面区域时，a＜3.
这时，交点B（6﹣a，6﹣2a），C（6+a）/3，（6-2a）/3），
则S△ABC=S△ABP﹣S△ACP=(3﹣a)/2 [(6﹣2a)﹣（6－2a）/3]=2(3﹣a)2/3．
【点评】本题考查了一次函数图象和性质，根据题意画出符合题意的函数图象是解题关键（其中y=2|x﹣3|的图象画时，要注意分两种情况考虑），利用函数解析式得出交点的坐标，再解不等式得出a的取值范围．
【例2】如果一次函数y=kx+b的自变量在﹣2≤x≤6之间变化时，函数值是﹣11≤y≤9，试确定函数的关系式．
【分析】根据一次函数的性质，可知本题应分两种情况：
①当k＞0时，y随x的增大而增大，此时x=﹣2，y=﹣11；x=6，y=9，代入一次函数的解析式y=kx+b，即可求出函数的解析式；
②当k＜0时，y随x的增大而减小，此时x=﹣2，y=9；x=6，y=﹣11，代入一次函数的解析式y=kx+b，即可求出函数的解析式．
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下面还有，继续……
【解】根据题意，
①当k＞0时，y随x增大而增大，
∴x=﹣2，y=﹣11；x=6，y=9，
②当k＜0时，函数值随x增大而减小，
∴x=﹣2，y=9；x=6，y=﹣11，
【点评】本题主要考查一次函数的性质，由于k的符号不同，y随x的变化也不同，因此应分两种情况讨论．
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