中考复习冲刺系列——纯代（函）数压轴选解（7）

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(因手机出现问题，作者名填写错误，“张祖冬”成了“张祖”，好纠结，只能等平台什么时候能更改了)

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(注：这是本人的一道原创题，应福建海峡教育报的一份模拟卷约稿而完成的，同时有多个朋友咨询，征得同意，在此公开.)

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【试题】已知抛物线E：y=x²+bx+c的顶点M在直线l:y=mx+n（m≠0）上．

（1）若直线l过点（1，－2）和（0，－3），且抛物线E与y轴交于C（0，3），求抛物线的顶点M的坐标；

（2）当m≠0时，试说明抛物线E与直线l总有两个交点；

（3）当1≤m≤3，n=0时，抛物线E与y轴的交点为C，与直线l的另一个交点为D，设MD=k，当CD∥x轴时，求k的取值范围.

【解析】

(1)简析：把点（1，－2）和（0，－3）代入直线解析式中，得：

∵顶点M在直线l上，

∴可设顶点M（t，t－3），

则抛物线为y=(x-t)²+t－3,

∵抛物线E与y轴交于C（0，3），

∴3=t²+t－3，

解得t₁=2, t₁=－3.

∴t－3＝－1或－6

∴M（2，－1）或（－3，－6）.

（注：其他解法计算量偏大）

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(2)法一：（通法）

由已知，得抛物线E的顶点坐标为：

　E（-b/2，(4c－b²)/4）,

由抛物线的顶点E在直线L上，

－bm/2+n=(4c－b²)/4

得到：n=(4c－b²)/4+ bm/2.

再由x²+bx+c=mx+n，

将n代入，并整理，得：

显然，当m≠0时，△＞0，

所以当m≠0时，抛物线E与直线L总有两个交点.

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法二：（计算量较小）

∵抛物线的顶点M在直线L上，

∴可设M（t，mt+n），

　则抛物线为y=(x－t)²+mt+n

      所以当m≠0时，x₁≠x₂，抛物线E与直线L总有两个交点.

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    (坚持写解题文章也不容易，您的点赞给予我的是信心，您的分享给予我的是动力。别忘了，给作者一个鼓励，点个赞哦！)

下面还有，继续……

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(3)当n=0时，直线为y＝mx，

设抛物线E的顶点M为（t，mt），

则抛物线为y=(x－t)²+mt.  抛物线与y轴交点为C（0，t²+mt），如下图示，

 根据抛物线的对称性，当CD∥x轴时，D（2t，t²+mt），且k²＝MD²＝OM²＝t²+(mt)²=(1+m²)t².

同时DE＝2MN，得t²+mt＝2mt，

整理，得t(t－m)=0，

因为t≠0，所以t=m，

(t=m的证法有多种，都很简单)

∴k²= m²+ m⁴,

设m²=a，

则k²=a+a²=(a+0.5)²－0.25

∵1≤m≤3，

∴1≤m²≤9，即1≤a≤9.

∴当1≤a≤9时，k²随a的增大而增大，即2≤k²≤90

又∵k>0，∴√2≤k≤3√10.

【反思】进一步思考：显然此题的最后一问可以随意调高难度，如:将条件“CD∥x轴”改成“直线CD与x轴构成60度的角”或“直线CD与y轴构成的角的正切值为3/4"，又如:将“MD=k”改为”CD/MD=k”……，

特别说明：进入公众号，回复“1,2,3…14,888”中的任意一个”数“，可查找到相应资料.

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