七下尖子生培优系列——不等式(组)(8)
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【例】已知非负数a,b,c满足条件a+b=7,c﹣a=5,设S=a+b+c的最大值为m,最小值为n,则m﹣n的值( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【分析】由于已知a,b,c为非负数,所以m、n一定为非负数,即m≥0, n≥0;根据c-a=5得c=5+a,得到c≥5;再由a+b=7,得到S=a+b+c=7+c,从而得到S≥7+5=12,即得到S的最小值为n=12.
另一方面,由a+b=7,b为非负数,得a≤7,而由c-a=5又可得c=a+5≤7+5=12,S=a+b+c=7+a+5=14+a≤7+12=19,即S的最大值为m=19.
因此m-n=19-12=7.
【解】∵a,b,c为非负数;
∴S=a+b+c≥0;
又∵c﹣a=5;
∴c=a+5;∴c≥5;
∵a+b=7;
∴S=a+b+c=7+c;
又∵c≥5;
∴c=5时S最小,
即S最小=12,即n=12;
又∵a+b=7;∴a≤7;
∴S=a+b+c=7+c
=7+a+5=12+a;
∴a=7时S最大,
即S最大=19,即m=19;
∴m﹣n=19﹣12=7.
故选C.
【点评】本题考查了一元一次不等式性质的应用,解答本题的关键是将S转化为关于a的式子,再判断出a的取值范围,求出S的最大值及最小值,从而求出的所需的值.
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下面还有,继续……
【例】已知点P(x,y)位于第二象限,并且y≤2x+6,x、y为整数,则点P的个数是 .
【分析】先根据第二象限点的坐标特征和x<0且y>0,再根据y的取值范围求出x的整数解,进而可求出符合条件的y的值.
【解】∵点P(x,y)位于第二象限,
∴x<0,y>0,
又∵y≤2x+6,
∴2x+6>0,即x>﹣3,
所以﹣3<x<0,x=﹣1或﹣2,
当x=﹣1时,2x+6=4,即y≤4,
又y>0,所以0<y≤4,因此y=1,2,3,4;
当x=﹣2时,2x+6=2,即y≤2,又y>0,所以0<y≤2,因此y=1或2.
综上所述,点P为 (﹣1,1),(﹣1,2)、(﹣1,3)、(﹣1,4)、(﹣2,1),(﹣2,2)共6个点.
【点评】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点,并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值,综合性强,注意体会.
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