八下尖子生培优系列——一次函数(11)
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【例1】若两个一次函数y=k1x+b1（k1≠0），y=k2x+b2（k2≠0），则称函数y=（k1+k2）x+b1b2为这两个函数的组合函数．
（1）一次函数y=3x+2与y=﹣4x+3的组合函数为________；若一次函数y=ax﹣2，y=﹣x+b的组合函数为y=3x+2，则a=________，b=________.
（2）已知一次函数y=﹣x+b与y=kx﹣3的组合函数的图象经过第一、二、四象限，求常数k、b满足的条件；
（3）已知一次函数y=﹣2x+m与y=3mx﹣6，求不论何值，它们的组合函数一定经过的定点坐标．
【解析】
（1）根据两个函数的组合函数的定义可得一次函数y=3x+2与y=﹣4x+3的组合函数；由定义可得一次函数y=ax﹣2，y=﹣x+b的组合函数为y=（a﹣1）x﹣2b，由此得出a﹣1=3，﹣2b=2，进而求出a与b的值.具体如下：
一次函数y=3x+2与y=﹣4x+3的组合函数为y=（3﹣4）x+2×3，即y=﹣x+6；
因一次函数y=ax﹣2，y=﹣x+b的组合函数为y=（a﹣1）x﹣2b，可得到：a﹣1=3且﹣2b=2，所以a=4，b=﹣1；
（2）先根据定义得出一次函数y=﹣x+b与y=kx﹣3的组合函数为y=（﹣1+k）x﹣3b，再根据一次函数的性质即可求解.具体如下：
∵因为一次函数y=﹣x+b与y=kx﹣3的组合函数为y=（﹣1+k）x﹣3b，又图象经过第一、二、四象限，
∴﹣1+k＜0且﹣3b＞0，
∴k＜1，b＜0；
（3）先根据定义得出一次函数y=﹣2x+m与y=3mx﹣6的组合函数为y=（﹣2+3m）x﹣6m，再转化为y=m（3x﹣6）﹣2x，再利用“0乘以任何数均为0”即可得出结论．具体如下：
∵一次函数y=﹣2x+m与y=3mx﹣6的组合函数为y=（﹣2+3m）x﹣6m，即y+2x =m（3x﹣6），
当3x-6=0且y+2x=0时，不论m为何值，上述等式均成立，进一步得到x=2，y=－4，所以此函数的图象一定过定点（2，﹣4）．
【点评】理解新定义，根据新定义进行应用，是解题的关键，同时本题考查了一次函数的性质及学生的阅读理解能力和知识的迁移能力．
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下面还有，继续……
【例2】设一次函数y=k1x+b1（k1≠0），y=k2x+b2（k2≠0），则称函数y=(k1+k2)x/2+(b1+b2)/2为这两个函数的平均函数．
（1）若一次函数y=ax+1，y=﹣4x+3的平均函数为y=3x+2，求a的值；
（2）若由一次函数y=x+1，y=kx+1的图象与x轴围成的三角形面积为1，求这两个函数的平均函数．
【分析】
（1）根据新定义得到[a+(-4)]/2=3，然后解方程即可；
（2）先根据三角形面积公式求出k的值，然后根据新定义求解．
【解】（1）依题意得[a+(-4)]/2=3，解得a=10；
（2）如下图示，
直线y=x+1与坐标轴交于（0，1），（﹣1，0），而直线y=k x+1经过点（0，1），交x轴于点（﹣1/k，0）），
由所围成的三角形面积，可得：
0.5|﹣1+1/k|×1=1，
解得k=1/3或﹣1，
∴两个函数的平均函数为:
y=2x/3+1或y=1．
【点评】本题考查了“新定义”（一次函数的综合应用），理解“新定义”及函数图象的特点，即可得解.
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