中考复习冲刺系列——纯代（函）数压轴选解（8）
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(注：本题福州屏东中学的模拟题——网友上传)
【试题】已知：在平面直角坐标系xoy中，抛物线y1=ax2-bx+c与直线y2=ax+n相交于点A（0,2），且经过点B（b，1-a+n），其中a,b,c,n为实数，且a≠0。
（1）求a的值；
（2）当b=2时，将抛物线沿y轴方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D，与y轴交于点C，与x轴负半轴交于点E，过C作x轴的平行线交所得抛物线于点F，若EF∥CD，求平移后所得抛物线的解析式；
（3）如果满足y2>0且y1≤0时自变量x的取值范围内有且只有一个整数，求b的取值范围.
【解析】
题干解析：将A点坐标分别代入两解析式，不难得到：c=n=2，所以两解析式为y1=ax2-bx+2，y2=ax+2，此时B点坐标为(b，1-a+2)，即B(b,3-a).
同时a≠0.又由于抛物线y1=ax2-bx+2经过点B(b，3-a)，所以有ab2-b2+2=3-a.
(1)将前面得到的ab2-b2+2=3-a整理，得b2(a-1)+(a-1)=0,即：
(a-1)(b2+1)=0，
因b2+1>0，所以a-1=0，得a=1.
(2)由a=1，且当b=2时，两解析式分别为y1=x2-2x+2，y2=x+2.
设抛物线沿y轴方向平移后的解析式为：y1’=x2-2x+2-t=(x-1)2+1-t.此时顶点D的坐标为(1，1-t)，与y轴交于C点的坐标为(0，2-t).
法一：(通法，计算量大)
当y1’=0时，(x-1)2+1-t=0，
即(x-1)2=t-1，
当t>1时，有x=1±√(t-1).
因此E(1-√(t-1)，0).
根据抛物线的对称性(对称轴为直线x=1)，过点C(0，2-t)与x轴平行的直线与抛物线的另一交点F的坐标应为(2，2-t).
最后通过EF∥CD，添加相应的辅助线，通过相似或三角函数的定义，列出关于t的方程，如下图示：
不难证得△CDM∽△EFN，且N(2，0)，EN=1-√(t-1)，FN=t-2，CM=1，DM=(2-t)-(1-)=1=CM.因此EN=FN，得到1-√(t-1)=t-2,整理得：√(t-1)= t-3，两边平方，得(t-3)2=(t-1),解得t=5或t=2(舍去).
所以平移后的抛物线解析式为y=x2-2x-3.
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下面还有，继续……
法二：由上述图中，当CD∥EF时，不难得到△CDM和△EFN均是等腰直角三角形，因此EN=FN=-yF=t-2，且N(2，0)，得xE=4-t，所以E(4-t，0)，再将E点坐标代入抛物线y1’= (x-1)2+1-t，得(4-t-1)2+1-t=0，……
(3)由(1)知：y1=x2-bx+2，y2=x+2，其中抛物线的对称轴为直线x=b/2.下面结合函数草图分析：
有下列两种情况：
情况一：如下图示，显然此时只需当x=-1时，对应的y1≤0即可，所以(-1)2+b+2≤0，解得b≤-3.
情况二：如下图示：
当x=1时y1=1-b+2=3-b，当x=2时，y1=4-2b+2=6-2b=2(3-b),根据抛物线的对称性，得到当x=1或x=2时，上述对应的两点会同在x轴的上方或下方，因此，当满足y2>0且y1≤0时自变量x的取值范围内整数个数要么不存在，要么就至少存在1和2两个数，因此这种情况下，这种情况不满足问题的条件。
综上所述，b≤-3.
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