八下尖子生培优系列——一次函数(12)
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【例1】如图，直线y=﹣2x+b与x轴，y轴分别相交于A、B两点，点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（﹣4，0）．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求点A的坐标和AC的长．
（3）若动点P（x，y）在直线AB上，则△PAC中AC边上的高= （用含x的式子表示），其中x的取值范围为 ．
（4）若△PAC的面积为6，试确定点P的坐标．
【解析】
（1）将点B的坐标代入直线解析式中得到关于b的方程，求出b值，从而得出结论；具体过程如下：
∵点B在直线y=﹣2x+b的图象上，
∴4=﹣2×0+b，b=4，
∴直线AB的解析式为y=﹣2x+4．
（2）当y=0时，求出此时x的值即可得点A的坐标，结合A、C点的坐标即可得出线段AC的长度；具体过程如下：
令y=﹣2x+4中的y=0，
则有0=﹣2x+4，解得：x=2．
∴A（2，0），
AC=2﹣（﹣4）=6．
（3）由AC在x轴上，结合点的意义可得△PAC中AC边上的高为|y|，结合点P在直线AB上即可列式得出结论；具体过程如下：
∵AC边在x轴上，且P（x，y），
∴△PAC中AC边上的高
=|y|=|﹣2x+4|．
∵y≠0，即﹣2x+4≠0，
解得：x≠2．
故答案为：|﹣2x+4|；x≠2．
（4）由线段AC的长度结合三角形的面积公式即可求出P点的纵坐标，再依据点P在直线AB上，即可得出点P的坐标，具体过程如下：
∵AC=6，∴S△PAC=0.5AC•|y|=6，
解得：y=±2，
当y=2时，有﹣2x+4=2，
解得：x=1；
当y=﹣2时，有﹣2x+4=﹣2，
解得：x=3．
故点P的坐标为（1，2）或（3，﹣2）．
【点评】本题考查了一次函数的性质、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：理解点的坐标特征，点与点（特殊情形中）的距离，以及结合一次函数的性质与应用。
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