2018年四川内江中考压轴倒一题(函数相关)

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2018年四川内江中考压轴倒一题(函数相关)

(2018·内江)如图，已知抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于点A(-3,0)和点B(1，0)，交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若直线y=m(-3<m<0)与线段AD、BO分别交于G、H两点，过G点作EF⊥x轴于占为E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；

(3)若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S₁、S₂，且S₁：S₂=4：5，求k的值.

（备用图）

【图文解析】

(1)常规题，方法多种，可直接将两点坐标代入，也可利用“顶点式“或两根式”，答案为：y=x²+2x-3或y=(x+1)²+4.

      由题意，可进一步得到：C(0,-3)、D(-2，-3)(因CD∥x轴，点C与点D关于抛物线的对称轴对称).

(2)如下图示：

      由B(1，0)和D(-2，-3)可得直线BD为y=x-1,由A(-3，0)和D(-2，-3)可得直线AD为y=-3x-9.

      再进一步，由y_G=y_H=m，可得x_G=-3-m/3，x_H=m+1，从而FH=-m,GH= x_H-x_G=4+4m/3.因此矩形GEFH的面积(设为S)为：

      S=GH×FH=

      (-3<m<0).

      所以，当m=-3/2时，矩形GEFH的最大面积为3.

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(3)首先先通过A(-3，0)、B(1，0)、C0，-3)、D(-2，-3)，不难得到四边形ABCD(为梯形)的面积=0.5(2+4)×3=9，而由已知条件S₁：S₂=4：5可得：S₁=4/9×S_梯形ABCD=4.

      设直线y=kx+1分别与x轴、直线CD交于M、N点，根据N点位置有可能如下两种情况：(如下图示)

      为此可先通过计算过点D时的特殊情况，如下：

      当直线y=kx+1经过点D(-2，-3)，时，有-2k+1=-3，解得k=2时，所以y=2x+1，当y=0时，解得x=-1/2，得到与x轴的交点P的坐标为(-1/2，0)，如下图示：

      由A(-3，0)和P(-1/2，0)和D(-2，-3)可得：PA=5/2，△APD的PA边上的高为3，所以△APD的面积=1/2×5/2×3=15/4<4，因此点N必在线段CD上，即上述的第一种情况.

      当然也可直接从第一种情况入手，然后再做简单说明不属于第二种情况即可.

      对于直线y=kx+1，当y=0时，x=-1/k，得到M(-1/k，0)；当y=-3时，kx+1=-3，得x=-4/k，得到N(-4/k,-3)，所以：

      AM=x_M-x_A=-1/k+3，

      DN＝=x_N-x_D=-4/k+2，

得S₁＝0.5（DN+AM）×OC

　＝0.5（-4/k+2-1/k+3）×3

　＝1.5（5－5/k）＝4，

解得k=15/7.

综上，所求的k的值为15/7.

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【点评】本题的每个小题的解题思路均在情理之中，无悬念，均属于常规解法.

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