八下期末复习系列——综合训练（1）

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(因手机出现问题，作者名填写错误，“张祖冬”成了“张祖”，好纠结，只能等平台什么时候能更改了)

【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD、BE、CF分别是三边上的中线．

（1）若AC=1，BC=√2．求证：AD²+CF²=BE²；

（2）是否存在这样的Rt△ABC，使得它三边上的中线AD、BE、CF的长恰好是一组勾股数？请说明理由．

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【解析】

（1）根据三角形中线的定义求出CD＝0.5BC＝(√2)/2，CE＝0.5AC＝0.5.分别在Rt△ABC、Rt△BCE和Rt△ACD中，由勾股定理，可得到：

      AB＝√……＝√3.

      BE²=BC²+CE²

      =（√2）²+（1/2）²=9/4，

      AD²=AC²+CD²

      =1²+(√2/2)²=3/2，

      再根据“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”可得CF＝0.5AB＝(√3)/2. 所以CF²＝…＝3/4.

得到AD²+CF²＝9/4，而BE²＝9/4，

所以AD²+CF²=BE².

      详细解题过程略：

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（2）设两直角边分别为a、b，根据(1)中的思路求出AD²、CF²、BE²，再根据勾股定理列出方程表示出a、b的关系，然后用a表示出AD、CF、BE，再进行判断即可．具体过程如下：

解：设两直角边分别为a、b，则AB²＝a²+b².

∵AD、BE、CF分别是三边上的中线，

∴CD=0.5a，CE=0.5b，

由勾股定理得，

AD²=AC²+CD²

=b²+（0.5a）²=0.25a²+b²，

CF²=CD²+FD²

=（0.5a）²+（0.5b）²

=0.25a²+0.25b²，

BE²=BC²+CE²

   =a²+(0.5b)²=a²+0.25b²，

∵AD²+CF²=BE²，

∴.25a²+b²+0.25a²+0.25b²

               =a²+0.25b²，

整理得，a²=2b²，

∴CF：AD：BE=1：√2：√3，

∵没有整数是√2和√3的倍数，

∴不存在这样的Rt△ABC．

【说明】当然计算CF时，也可连接FD，由三角形中位线定理可得DF＝0.5AC，CD＝0.5BC，…….

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下面还有，继续……

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【例2】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF²=BE²+CF²．

【分析】“倍长中线”或“旋转”均可，均为常法.

     延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，如下图示：

具体过程如下：

【证明】延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，如图所示：

在△EDF和△GDF中

∴△EDF≌△GDF（SAS），

∴EF=FG

又∵D为斜边BC中点

∴BD=DC

在△BDE和△CDG中，

∴△BDE≌△CDG（SAS）

∴BE=CG，∠B=∠BCG

∴AB∥CG

∴∠GCA=180°﹣∠A

=180°﹣90°=90°

在Rt△FCG中，由勾股定理得：

FG²=CF²+CG²=CF²+BE²

∴EF²=FG²=BE²+CF²．

【拓展】若E点在射线AB或BA上，上述结论还成立吗？为什么？

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