2018年山东滨州中考压轴倒二题(几何综合)

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(因手机出现问题，作者名填写错误，“张祖冬”成了“张祖”，好纠结，只能等平台什么时候能更改了)

（2017•山东滨州）已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点.

（1）如图①，若点E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE＝AF；

（2）若点E，F分别为AB，CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE＝AF吗？请利用图②说明理由.

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【图文解析】

（1）本题属于常见题，思路比较直接和自然，欲证BE＝AF，可以从全等角度入手，连接AD，不难得出AD＝BD，∠B＝∠DAF＝45°，∠ADF＝∠BDE，从而△BED≌△AFD，∴BE＝AF.

（2）在（1）的基础上，不难得出第二问方法是一样的，连接AD，则AD＝BD，∠EBD＝∠FAD＝135°，∠BDE＝∠ADF，从而

△BED≌△AFD，∴BE＝AF.

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【变式1】如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，CA平分∠BAD，求证：BC＝CD.

法一：过点C作EC⊥AC交AB延长线与E，易得△BEC≌△DAC，

法二：或作CE⊥AB与点E，CF⊥AD交AD延长线于F，易得△BEC≌△DFC.

……

方法很多，本质基本一致，请自行补充其他解法.

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下面还有，继续……

【变式2】如图，等腰Rt△ABC，∠A＝90°，BA＝CA＝7，D为斜边BC中点，E、F分别为AB和AC上一点，∠EDF＝90°，

（1）若BE＝3，求DE的长.

（2）设EF与AD交与点M，

        求证：2DM•DC＝EF²

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