七下期末复习系列——综合训练（1）

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【例1】如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE=60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．

（1）求∠BOD的度数；

（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．

      ①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；

      ②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．

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【图文解析】

（1）依据“∠COE=60°，OA平分∠COE”，可得∠AOC=30°，再根据“∠AOB=90°，∠AOC+∠AOB+∠BOD＝180⁰（平角的定义），即可得到∠BOD=180°﹣30°﹣90°=60°；具体过程如下：

∵∠COE=60°，OA平分∠COE，

∴∠AOC=30°，

又∵∠AOC+∠AOB+∠BOD＝180⁰，

∠AOB=90°

∴∠BOD=180°﹣30°﹣90°=60°；

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（2）①分两种情况进行讨论：

      当OE平分∠AOB时，∠AOE=45°，如下图示：

      即∠COE-∠AOC＝45⁰，所以（60+9t）－（30+3t）＝45，解得t=2.5.

      当OF平分∠AOB时，∠AOF=45°，如下图示：

      由∠EOF＝180⁰，再依据角的和差关系进行计算：

　　(360-9t)+(3t-30)+45=180

      解得：t=32.5.

      综上所述，当t=2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB.

②同样分两种情况进行讨论：

      当OE平分∠BOD时，∠BOD =2∠DOE，如下图示，

得180-90－(3t+30)=2(180-60-9t).

        解得t=12.

      当OF平分∠BOD时，如下图示，

      可得∠AOD＝180⁰－∠AOC＝180⁰－(30⁰+3t⁰)=150⁰－3t⁰，进一步，得到：∠BOD＝90⁰－(150⁰－3t⁰)=3t⁰-60⁰.

      另一方面，如下图示，

      所以∠DOF＝∠COE＝9t⁰－300⁰.

      当∠BOD＝2∠DOF，因此有：

           3t-60＝2（9t-300），

           解得：t=36

      综上所述，若直线EF平分∠BOD，t的值为12s或36s．

【点评】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，画出图形的大致位置，通过角之间的和差倍分计算，应用方程的思想是解决问题的关键，同时要注意掌握分类思想．

【拓展】在（2）的条件下，可以提出一系列的问题，如：若直线EF平分∠BOC，求出t的值；若∠BOF＝90⁰呢？若∠BOE＝0.5∠COF呢？

（解法类似） 

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