2018年四川宜宾中考选择压轴（第8题）解析

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（2018·宜宾）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB²+AC²=2AO²+2BO²成立.依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF² +PG²的最小值为（    ）.

A√10  B.19/2  C.34   D.10

【图文解析】

      先证明试题的结论：在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB²+AC²=2AO²+2BO²成立.

      过A点作AD⊥BC于D，设OB＝OC＝m，OD＝x，AD＝a，如下图示，由勾股定理，得：

 AB²=AD²+BD²= a² + (m+x)²，

AC²＝AD²+CD²＝a² + (m－x)²，

OA² ＝AD²+OD²＝a²+x²

所以AB²+AC²＝……

=2m²+2(a²+x²)= 2OA²+2BO².

即AB²+AC²＝2OA²+2BO².

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      回到原题中……，根据上述的结论，结合条件，则可以取FG的中点M，连接PM，如下图示：

则有PF²+PG²＝2GM²+2PM²

＝2×2²+2PM²＝8+2PM².

      显然当PM最小时，PF² +PG²取得最小值，此时PM的最小值为3-2＝1（根据两点之间线段最短），因此PF² +PG²的最小值为8+2×1＝10.

如下图示，

故答案应选D.

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【拓展】如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，求PE² +PG²的最小值.

答案：13.

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