2018年山东烟台第24题——倒二压轴（正方形与旋转）
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2018年山东烟台第24题
【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1、PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP´A，连接PP´，求出∠APB的度数；
思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP´B，连接PP´，求出∠APB的度数．
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=√11．求∠APB的度数．
【题干精析】由题意可看出问题的背景是正方形，BC=BA，∠ABC=90°，满足旋转的前提条件，思路一、二都是通过旋转，从而构造等腰直角三角形，再通过边之间的关系，寻找新三角形的角的特殊性来解题，因此，这两种思路是相同的。
【图文精解】
这里旋转思路一来具体分析:将△BPC绕着点B逆时针旋转90°，恰好点C与点A重合，得到△BP’A，连接PP’，则AP’=BC=3，△PP’B是等腰直角三角形，∠BPP’=45°，且PP’=√2BP=2√2，因此△APP’的三边满足勾股定理逆定理，可推出△APP’为直角三角形，∠APP’=90°，从而得到∠APB=135°。
【类比探究】
虽然将点P移到正方形外部，但是图形的背景没有改变，因此，依然可以用旋转来解决，将△ABP绕点B顺时针旋转90°，此时，点A恰好与点C重合，得到△CBP’，则∠CP’B=∠APB，P’C=AP=3，同样可得△BPP’为等腰直角三角形，∠PP’B=45°，PP’=√2，又可得出△PCP’的三边，可求得△PCP’为直角三角形，∠PP’C=90°,从而∠CP’B==45°，即∠APB=45°。
【方法精点】
当问题背景为等腰直角三角形、等边三角形、正方形等时，往往可以考虑用旋转的方法来寻找解题思路。
【拓展精深】
如图，△ABC中，AB=6，BC=4，在AC一侧作等边三角形△ACD，求BD的最大值和最小值。
【答案】2≤BD≤10
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