2018年浙江舟山第24题——倒二压轴（等腰三角形与相似）

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建议阅读：

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初中三个年级上下学期培优提高系列汇总（按章节）（至18年7月2日止）

【题干分析】

       由∠B＝∠C可得，AB＝AC，∠BAC＝180°－2∠C，点P可以看作BC边上的动点，结合已知∠CPE＝∠BPF可得：△BPF∽△CPE（这个结论后续解析析用其他方法，并没用到，但不能没有想到）

【图文解析】

（1）当∠CPE＝∠C时，可进一步得到∠CPE＝∠B，所以PE∥AB，同理PF∥AC，可得四边形AFPE是平行四边形，从而PE＝AF，又由PF∥AC得∠FPB＝∠C＝∠B，所以BF＝PF，所以PE＋PF＝AF＋BF＝AB；

       （2）不难猜想PE＋PF＝BD. 思考截长补短的思路，由于∠CBD＝∠CPE，所以PE∥BD，结合（1）的解题过程，可以通过平移来实现证明.

    如图4所示，过点P作PG∥CD，可得四边形DGPE是平行四边形，所以PE＝DG，线段BD分割成BG和GD，只需证BG＝PF，可通过全等得到证明.

因为PG∥CD，所以∠GPB＝∠C＝∠FBP，又∠GBP＝∠EPC＝∠FPB， BP＝PB，所以△GBP≌△FPB，进而得到BG＝FP，因此BD＝BG＋GD＝PE＋PF，即PE＋PF＝BD；

       （3）①由题目给出的条件分析，不难得到如下信息：

∠APE＝∠AEP，∠C＝∠B＝27°.

    要求∠CPE的大小，可设∠EPC＝∠APB＝x，则∠APE＝∠AEP＝180°－2x，在△CPE中，依据∠AEP＝∠EPC＋∠ECP，得180°－2x＝x＋27°，解得x＝51°，即

∠CPE＝51°

【反思】

1.截长补短的思路，注重线段的位置关系，如在（2）中，PE与BD平行，可通过平移的方法，构造平行四边形作截长.

2.三角形中，若两个内角存在倍数关系，可以利用外角性质作等腰三角形，构造相似三角形，如法      

 二中，∠BAP＝2∠APB，可延长BA到H，使得AH＝AP，构造等腰三角形APH，得到△BAP∽△BPH.

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