2018年山东烟台第25题——倒一压轴（直角三角形与几何最值）
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（2018·烟台）如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+2/3分别与y轴及抛物线交于点C、D．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形：请直接写出所有满足条件的t的值；
（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E、F两点．在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使得DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．
【题干精析】
由题意可知，抛物线解析式为y=2/3x2+2x-8/3，直线解析式为y=－2/3x+2/3，同时可求得点C（0,2/3），点D（-5，4）；点P从点O出发，每秒1个单位向左运动，因此，运动t秒时，点P所在的点坐标为（－t，0），当△PDC为直角三角形时，要以哪个角为直角进行分类讨论。
【图文精解】
(1)在题干精析中已求得；
(2)分三类讨论：
①当∠PDC=90°时，如图所示，过点D作DP⊥DC交x轴于点P，过点D作DN⊥y轴于点N，过点P作PM⊥直线DN于点M，则NC=10/3，DN=5，MP=4，可得△PMD∽△DNC，即MP/DN=MD/NC，可求得DM=8/3.则点P为（-23/3，0），此时t=23/3。
②∠PCD=90°，如图所示，过点C作CP⊥CD，交x轴于点P，过点D作DN⊥y轴于点F，则DN=5，NC=10/3，CO=2/3，且△DFC∽△COP，可得DN/CO=NC/PO，代入求得PO=4/9，此时t=4/9。
③∠DPC=90°，以CD为直径做圆，与x轴的交点即为所求点P，通过图象可发现存在两个点P，过点D作DK⊥x轴于点K，则可得DK=4，CO=2/3，OK=5，由点P坐标可得OP=t，则KP=5-t，且△DKP∽△POC，即DK/OP=KP/CO，求得t=(15±√129)6。
综上所述：当t为23/3、4/9、(15±√129)6时，△PDC为直角三角形。
（3）如下图所示，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，得到直线EF：y=-2/3x-10/3，点M为抛物线对称轴上的点，将点D关于对称轴对称得到点D（2,4）则DM=D'M，DM+MN=D'M+MN。当D'、M、N三点共线且垂直于EF时，DM+MN最小。
因此，过点D'作D'N⊥EF于点N，作D'G⊥x交EF于点G，过点N作NH⊥D'G于点H，设点N为（n,-2/3n-10/3），则NH=2-n，D'H=4+2/3n+10/3=2/3n+22/3，tan∠ND'H=tan∠OEF=NH/D'H=2/3，即（2-n）/（2/3n+22/3）=2/3，求得n=-2，点N为（-2，-2），此时点M为（-1.5，-5/4），DM+MN最小值为2√13.
【方法精点】
1、当遇到限制条件的动直角时，尽量构造K型相似或利用三角函数解题。
2、利用对称性及垂线段最短，解决这一类几何最值问题。
【拓展精深】
将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，求新抛物线上到直线EF距离最短的点的坐标．
【答案】（-2，0）
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