尖子生之路[七上系列]——期中复习（2） ——绝对值与数轴（数形结合）
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初中三个年级上下学期培优提高系列汇总（按章节）（至18年7月2日止）
【例1】同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
（1）求|5﹣（﹣2）|= ．
（2）数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离表示为________．
（3）找出所有符合条件的整数x，使|x+5|+|x﹣2|=7，这样的整数有 个．
（4）若x表示一个有理数，且|x﹣2|+|x+4＞6，则有理数x的取值范围是 ．
【分析】略（可参考之前的相关文章）
【解】（1）|5﹣（﹣2）|=7；
（2）|x+1|或|x﹣（﹣1）|；
（3）由题意得，﹣5≤x≤2，所以符合条件的整数有﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，共8个；
（4）∵﹣4到2的距离是2﹣（﹣4）=2+4=6，
∴|x﹣2|+|x+4|＞6时，有理数x的取值范围是x＜﹣4或x＞2．
【练习1】（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是 ；数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是
（2）数轴上表示x和2两点之间的距离表示为
（3）若，则|x﹣3|=5，则x= ；
（4）式子|x﹣3|+|x+1|=8，则x的值为 ；
（5）若x表示一个有理数，式子|x﹣3|+|x+1|的最小值为 4 ．
【解】（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是5﹣2=3；数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是1﹣（﹣3）=4，
（2）数轴上表示x和2两点之间的距离表示为|x﹣2|，
（3）若|x﹣3|=5，
则x﹣3=5或x﹣3=﹣5，
解得：x=8或x=﹣2，
（4）式子|x﹣3|+|x+1|=8表示：数轴上表示x的点到3和﹣1的距离和为8，
若x＜﹣1，则3﹣x﹣x﹣1=8，
解得：x=﹣3；
若x＞3，则x﹣3+x+1=8，解得：x=5；
若﹣1≤x≤3，则3﹣x+x+1=4≠8；
（5）根据题意，可知:
当﹣1≤x≤3时，|x﹣3|+|x+1|有最小值．
∴|x﹣3|=3﹣x，|x+1|=x+1，
∴|x﹣3|+|x+1|=3﹣x+x+1=4，
【例2】已知有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示．化简：|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|+|b+c|．
【分析】由数轴可得﹣1＜c＜0＜b＜1＜a，|b|＜|c|＜|a|，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再计算．
【解】∵由数轴可知：
﹣1＜c＜0＜b＜1＜a，
|b|＜|c|＜|a|，
∴a﹣b＞0，b﹣c＞0，
c﹣a＜0，b+c＜0，
∴原式=a-b+b-c+c-a-(b+c)
=﹣b﹣c．
【练习2】已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a﹣b|．
【解】∵a、c在原点的左侧，a＜-1，
∴a＜0，c＜0，
∴2a＜0，a+c＜0，
∵0＜b＜1，
∴1﹣b＞0，
∵a＜﹣1，
∴﹣a﹣b＞0
∴原式=-2a+(a+c)-(1-b)+(-a-b)
=-2a+a+c-1+b-a-b
=﹣2a+c﹣1．
【练习3】如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，化简|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|．
【解】由数轴得，
c＞0，a＜b＜0，|a|＞|c|，
则a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0．
所以原式=b﹣a+a+c+c﹣b=2c．
【练习4】已知，表示有理数a、b、c的点在数轴上的位置如图所示，化简|2a|+|b﹣c|﹣3|c﹣1|﹣|c﹣a|．
【解】∵b＜a＜0＜c＜1，
∴c﹣1＜0，b﹣c＜0，c﹣a＞0
∴原式=﹣2a+c﹣b﹣3（1﹣c）﹣c+a
=﹣a﹣b+3c﹣3．
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