2018年中考江苏盐城第26题——倒二压轴（相似、动点与三角形）
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2018年中考江苏盐城第26题
下面分小题解析
【发现】如图①，已知等边△ABC，将直角三角形的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．
（1）若AB＝6,AE＝4,BD＝2,则CF＝ ；
（2）求证：△EBD∽△DCF．
【图文解析】
两个三角形均为特殊的三角形，结合已知条件不难得到：
（1）当AB＝6，AE＝4，BD＝2时，进一步地，有：
（2）上述的第一个图，已经证明△EBD∽△DCF（“一线三等角”）．
【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示．问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出BD/BC的值；若不存在，请说明理由．
【图文解析】
假设存在点D，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE，如下图示：
不难看出，此时DE和FD均为△AEF的外角平分线，因此不难证得点D一定在△AEF的∠A的平分线上（课本习题），证明如下：
即AD平分∠A，又因△ABC为等边三角形，所以AD又是△ABC中边BC的中线，得BD＝0.5BC，所以BD/BC＝1/2．
【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON＝∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠B＝α，则△AEF与△ABC的周长之比为 （用含α的表达式表示）．
【图文解析】
由【思考】可知：当O为BC边的中点时，OE、OF分别平分∠BEF、∠CFE，即点O为△AEF的两个外角平分线的交点．如下图示：
进一步，添加与角平分线相关的辅助线（类似于“【思考】“），如下图示：
不难得到：EG＝EH，FH＝FI，AG＝AI，如下图示：
所以△AEF的周长＝AE＋EF＋AF＝AE＋EH＋FH＋AF＝AE＋EG＋FI＋AF＝AG＋AI＝2AG．
为计算方便，不防设OB＝m，下面结合已知条件计算AB和AG的长.如下图示：
得到△AEF的周长＝2 AG＝2msinα×tanα=2msinα×sinα/cosα
△ABC的周长＝2（AB+OB）＝2m(1+1/cosα)．
△AEF与△ABC的周长之比为：
（注意：上述用到了一个结论（公式），tanα=sinα/cosα，用三角函数的结论不难证明）．若不运用这个公式，可用相似或用勾股定理求出AG的长．
【反思】注意题中的相关结论成立的条件：如图示，△ABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，∠MON＝∠B（底角）．结论是：OE、OF分别平分∠BEF、∠CFE，即点O为△AEF的两个外角平分线的交点．
思考：这个结论还能如何证明？若点E在直线AB上，结论还成立吗？
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