尖子生之路[七上系列]——期中复习（6） ——整式化简求值及相关问题（2）
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期中复习（6）
——整式化简求值及相关问题（2）
【例1】如图，点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c，且满足：（b+2）2+（c﹣24）2=0，且多项式x|a+3|y2﹣ax3y+xy2﹣1是五次四项式．
（1）则a的值为 ，b的值为 ，c的值为 .
（2）点D为数轴上一点，它表示的数为x，求：49/81(3x﹣a)2+(x﹣b)2﹣1/16(﹣12x﹣c)2+4的最大值，并回答这时x的值是多少．
【分析】（1）先根据“绝对值和平方的非负性”，先求出b与c的值，再根据多项式为五次四项式求出a的值；
（2）把a、b、c三点代入，即可求出答案．
【解】（1）∵（b+2）2+（c-24）2=0，
又（b+2）2≥0，（c-24）2≥0，
∴b=﹣2，c=24，
∵多项式x|a+3|y2-ax3y+xy2-1是五次四项式，
∴|a+3|=5﹣2且﹣a≠0，∴a=﹣6．
（2）把a=﹣6，b=﹣2，c=24代入原式得：
原式=49/81(3x+6)2+(x+2)2－1/16(-12x-24)2+4=-23/9(x+2)2+4，
又因(x+2)2≥0得-23/9(x+2)2≤0，
所以当x=﹣2时，最大值为4．
【例2】已知有理数a和b满足多项式A，且A=（a﹣1）x5+x|b+2|﹣2x2+bx+b（b≠﹣2）是关于x的二次三项式，求（a﹣b）2的值．
【分析】根据题意，可列出关于a、b的等式，进一步求得a、b的值，然后分别代入即可．【解】依题意，得a﹣1=0，解得a=1．
当|b+2|=2时，解得b=0或b=-4，
当b=0时，A不是二次三项式；
当b=－4时， A是关于x的二次三项式，
当|b+2|=1时，解得b=﹣1（舍）或b=﹣3，
当|b+2|=0时，解得b=﹣2（舍），
当a﹣1=﹣1且|b+2|=5，
即a=0、b=3或﹣7时，
此时A是关于x的二次三项式；
∴当a=1，b=﹣4时，（a﹣b）2=25；
当a=1，b=﹣3时，（a﹣b）2=16．
当a=0、b=3时，（a﹣b）2=9．
当a=0、b=﹣7时，（a﹣b）2=49．
综上所述，所求的值为25、16、9、49．
【例3】已知A、B是关于的整式，其中A=mx2－2x+1，B=x2－nx+5.
（1）若A－B化简的结果是4x2－7x+p，求m、n、p的值；
（2）若A＋B的值与x的取值无关，求m－2n的值；
（3）若当x＝－2时，A－B的值为5，求式子n－2(m－1)的值.
【分析】（1）先将A、B代入A－B进行化简，后与4x2－7x+p进行对比，求出m、n、p的值.
（2）将A、B代入A－B进行化简，因其结果也x的取值无关，让含x的项的系数等于0，可得到m、n的值，再进一步求m－2n的值.
（3）先将A、B代入A－B进行化简，后再将x＝－2代入时其值为5，得到关于m－2n的值，最后再整体代入求的n－2(m－1)的值.
【解】（1）当A=mx2－2x+1，B=x2－nx+5时，
A－B＝（mx2－2x+1）－（x2－nx+5）
＝mx2－2x+1－x2+nx－5
＝（m－1）x2+（n－2）x－4
∵A－B化简的结果是4x2－7x+p
∴m－1＝4，n－2＝－7，p＝－4.
∴m＝5，n＝－5，p＝－4.
(2)当A=mx2－2x+1，B=x2－nx+5时，
A+B＝（mx2－2x+1）+（x2－nx+5）
＝mx2－2x+1+x2－nx+5
＝（m+1）x2+（－n－2）x+6
∵A＋B的值与x的取值无关
∴m+1＝0，－n－2＝0.
∴m＝－1，n＝－2.
∴m－2n＝－1－2×（－2）＝－1+4＝3.
（3）当A=mx2－2x+1，B=x2－nx+5时，
A－B＝（mx2－2x+1）－（x2－nx+5）
＝mx2－2x+1－x2+nx－5
＝（m－1）x2+（n－2）x－4
∵当x＝－2时，A－B的值为5，
∴A－B＝(m－1)×(－2)2+(n－2)×(－2)－4
＝(m－1)×4+(－2n+4)－4
＝4m－4－2n+4+4－4
＝4m－2n=2(2m－n)=5.
∴2m－n=5/2.
∴n－2(m－1)= n－2m+2
=－(2m－n)+2=－5/2+2＝－1/2.
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