尖子生之路[七上系列]——期中复习（8） ——新定义及规律相关
声明：“初中数学延伸课堂”的所有文章，版权所有。欢迎并感谢朋友们分享和转发，但未经许可，不得在任何公共场合使用、开发及转载，违者必究！
（直接点击进入，可了解编写说明、全书目录和相关样章,含《图解精析中考数学压轴题》、《优学中考总复习·数学》、《顶尖培优专题》（共6册）、《顶尖中考数学微专题》等）
建议阅读：
初中三个年级上下学期培优提高系列汇总（按章节）（至18年7月2日止）
期中复习（8）
——新定义及规律相关
【例】探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
（+2）*（+4）=+（22+42）；
（-4）*（-7）=+[（-4）2+（-7）2]；
（-2）*（+4）=-[（-2）2+（+4）2]；
（+5）*（-7）=-[（+5）2+（-7）2]；
0*（-5）=（-5）*0=（-5）2；
（+3）*0=0*（+3）=（+3）2；
0*0=02+02=0．
（1）归纳*运算的法则：
两数进行*运算时， ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算， ．
（2）计算：（+1）*[0*（-2）]= ．
（3）是否存在有理数m，n，使得（m-1）*（n+2）=0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
【分析】（1）（2）根据根据定义，通过计算，归纳出*运算的运算法则，进一步得到相关结论．
（3）通过计算实例进行验证加法交换律．
【解】（1）归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方．
（2）（+1）*[0*（﹣2）]
=（+1）*（﹣2）2
=（+1）*4
=+（12+42）
=1+16
=17；
（3）∵（m-1）*（n+2）=0，
∴±[（m-1）2+（n+2）2]=0
∴m-1=0，n+2=0，
解得m=1，n=-2．
【练习1】对于任意两个实数对（a，b）和（c，d），规定：当且仅当a=c且b=d时，（a，b）=（c，d）．定义运算“⊕”：（a，b）⊕（c，d）=（ac﹣bd，ad－bc）．若（1，2）⊕（p，q）=（5，0），则p+q = ，p－q= ．进一步，得到：P＝_______，q＝__________.
【分析】先根据定义算出（1，2）⊕（p，q）=（p－2q，q－2p），再根据规定：当且仅当a=c且b=d时，（a，b）=（c，d），得出p－2q=5，q－2p=0，通过“两式相加和相减”，即可得到p+q和p－q的值，再次通过“两式相加和相减”进一步得到p、q的值.
【解】依题意，得：
(1,2)⊕（p,q)=(p-2q,q+2p)=(5,0)，
∴p﹣2q=5，q－2p=0，
将两式分别相加、相减，得：
－p－q=5，3p－3q＝5
即p+q=－5，p－q＝5/3.
将两式再次分别相加、相减，得：
p＝-5/3，q=-10/3.
【练习2】定义：当m⊗n=k（k为常数）时，得（m+1）⊗n=k-1，m⊗（n+1）=k+2．现在，已知1⊗1=2，求20017⊗20017的值．
【解】由“m⊗n=k，（m+1）⊗n=k﹣1，
m⊗（n+1）=k+2”可得：
（m+1）⊗（n+1）=（k-1）+2=k+1，
类似地：（m+2）⊗（n+2）=…＝k+2，
（m+3）⊗（n+3）=…=k+3，……
（有“⊗”号前后各加1，得到的值加1），
所以（m+d）⊗（n+d）=k+d，
而已知1⊗1=2，相当于m=1，n=1，k=2，d=0,
∴20017⊗20017
＝(1+2016)⊗(1+2016)
＝2+2016=2018，
即2017⊗2017=2018．
【练习4】记S1=1×1=1×1!,S2=2×2×1=2×2!;S3=3×3×2×1=3×3!,…,Sn=n•n•(n-1)…3×2×1=n•n!；求S=S1+S2+S3+…+S2017－2018!的值.
【分析】直接根据“Sn”定义，分别表示出S1、S2、S3、…、S2017.，再代入S进行计算.计算过程中，充分利用Sn=n•n•（n﹣1）…3×2×1=n•n!关系，进一步得到：n!+Sn＝n!+ n•n!=(n+1) n! ＝(n+1)•n•（n﹣1）…2×1=(n+1) !，即n!+ n•n!=(n+1) !，当然计算过程中，务必严格按照运算规则和顺序进行.
【解】由Sn=n•n•（n﹣1）…3×2×1=n•n!得：
n!+Sn＝n!+ n•n!=(n+1) n!
＝(n+1)•n•（n﹣1）…2×1=(n+1)!
即n!+ n•n!=(n+1)!.
所以S=1×1!+2×2!+…+2017×2017! －2018!
=1+2×2!+3×3!+…+2017×2017!-2018!
=2+2×2!+3×3!+…+2017×2017!-2018!－1
=2!+2×2!+3×3!+…+2017×2017!－2018!－1
=3!+3×3!+…+2017×2017! －2018!－1
=4!+4×4!+…+2017×2017!－2018!－1
=5!+…+2017×2017! －2018!－1
＝……＝2018!－2018!－1＝－1.
（下面介绍两本新书）
《图解精析中考数学压轴题》
本书共涉及294道压轴试题．
试题解析图文并茂，突出"图解精析".
扫描上述二维码购买(微店）
——本书唯一购买渠道
（唯一发货地址：福建福州）
(市面已经出现盗版，目前已发现盗版的发货地址：广州。请朋友们购买时务必认清购买地址和发货地址）
有任何问题可直接咨询客服，也可到QQ群(333629230)交流！
《优学中考总复习·数学》
购买方法：
（突出拓展、延伸与变式）
（直接点击进入了解）
（含顶尖培优专题、顶尖中考数学微专题等编写说明和相关样章）
如有团购，进入上述"微店"后,请联系客服.
点击上述书名，可阅读相应书籍的相关说明和标章
关注公众号后，输入“abcd"可得到关键词,再输入关键词，可得到：相关文章或汇总、地址等。
（如：要查找本人的几何画板622分钟视频教程，则：关注本公众号后，进入公众号，输入“1”（不包括双引号）即可得到获得观看地址）本公众号部分已设定的关键词，今后将逐步更新，请大家随时关注！）