尖子生之路[七上系列]——一元一次方程（10） ——一元一次方程的综合运用(2)

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建议阅读：

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初中三个年级上下学期培优提高系列汇总（按章节）（至18年7月2日止）

一元一次方程的综合运用(2)

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【分析】先去分母化简原方程，然后根据题意（无论k为何值，方程的解总是x=1），结合解的定义，可得关于a、b的等式，进一步求出a、b的值．

【解】方程两边同乘以6，得

2（2kx+a）=12+（x﹣kb）

去括号，得

4kx+2a=12+x﹣kb

移项及合并同类项，得

（4k﹣1）x=12﹣kb﹣2a

系数化为1，得

 x=(12﹣kb﹣2a)/( 4k﹣1)．

∵因原方程的解总是x=1，

∴(12﹣kb﹣2a)/( 4k﹣1)＝1，

∴12﹣kb﹣2a=4k﹣1，

即13－2a=(b+4)k

(最关键的一步！！！)

∵原方程的解与k无关，

∴13﹣2a=0，b+4=0．

（这一步骤务必认真体会，前面系列有这方面的文章）

解得a=6.5，b=﹣4．

【例2】用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b=ab²+2ab+a．如：1*3=1×3²+2×1×3+1=16

（1）求2*(﹣2)的值；

（2）若2*x=m，（0.25x）*3=n（其中x为有理数），试比较m，n的大小；

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【分析】严格根据给定的定义（运算规则），列出相应的式子，再进行求值或解方程即可。

【解】（1）2*(-2)=2×(-2)²+2×2×(-2)+2=2．

（2）m=2*x=2x²+2×2x+2=2x²+4x+2，

      n=(0.25x)*3=0.25x×3²+2×0.25x×3+0.25x

       =2.25x+1.5x+0.25x=4x，

      ∴m﹣n=2x²+4x+2﹣4x=2x²+2≥2>0，

　（说明：当m﹣n>0时，显然有m>n）.

 　∴m＞n．

（3）依题意，得：

  去分母，得：

      把a+1看作一个整体，合并，得：

           4（a+1）=2a+8

           ……，所以a=2.

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=100a+10b+c-100c-10b-a

=99a﹣99c=99（a-c）；

（3）不妨设这个三位数中三个数字为a≥b≥c，且a≥c+1，

则“F运算”有：

   因此所得的三位数中必有一个9，而另外两个数字之和为9；

共有990，981，972，963，954五种情况；

以990为例得，

990﹣099=891，

981﹣189=792，

972﹣279=693，

963﹣369=594，

954﹣459=495，…

  由此可知最后得到495数就会循环．

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