纯代（函）数系列文章汇总（1）——九上期末复习（1）——尖子生之路[九上系列]
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【例1】已知抛物线C：y=x2﹣（m+1）x+1的顶点在坐标轴上．
（1）求m的值；
（2）当m＞0时，抛物线C向下平移n（n＞0）个单位后与抛物线C1：y=ax2+bx+c关于y轴对称，且C1过点（n，3），求C1的函数关系式；
（3）当﹣3＜m＜0时，抛物线C的顶点为M，问在直线x=﹣1上是否存在一点Q，使得抛物线C绕Q点旋转1800后得到的新抛物线与x轴只有一个交点，求旋转后的抛物线解析式.
【解析】
（1）顶点在坐标轴上，说明顶点可能在x轴上，也可以在y轴上.
当抛物线C的顶点在x轴上时，由△=[﹣（m+1）]2﹣4=0，得m=1或m=﹣3；
当抛物线C的顶点在y轴上时，由﹣（m+1）=0，得m=﹣1.
综上所述，m=±1或m=﹣3，
（2）由（1）知m=±1或m=﹣3，又因m＞0时， 所以m=1，所以抛物线C的解析式为y=x2﹣2x+1＝(x－1)2，当该抛物线向下平移n（n＞0）个单位后得到y=(x－1)2﹣n，得顶点坐标为（1，n），由于此时的抛物线与抛物线C1：y=ax2+bx+c关于y轴对称（已知），所以抛物线C1的顶点为(－1，－n)，且a＝1，得到抛物线C1为y= (x+1)2﹣n.
又因抛物线C1过点（n，3），所以n2+2n+1﹣n=3，即n2+n﹣2=0，解得n1=1，n2=﹣2（由题意n＞0，舍去）得到n=1.因此抛物线C1：y=x2+2x，
（3）由（1）知： m=±1或m=﹣3，又因﹣3＜m＜0时， 所以m=－1，所以抛物线C的解析式为y=x2+1，其顶点M（0，1）.
如下图示，设Q(－1，t)，则顶点M绕Q点旋转1800后得到M’(－2，2t－1)，由于新抛物线与x轴只有一个交点，所以Q’的纵坐标为0，即M’(－2，2t－1)，因此所求的抛物线的解析式为：y=(x+2)2
【反思】本题不难，但试题涵盖平移、对称和旋转等三大变换，第（3）小题通过数形结合不难求得，整个试题的拓展性强，是一道非常好的基本题。
【例2】在平面直角坐标系xOy中，定义直线y=ax+b为抛物线y=ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．设抛物线y=ax2+bx与其特征直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为____________；
（2）若抛物线y=ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；
（3）设抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE∥CF．
①若特征点C为直线y=﹣4x上一点，求点D及点C的坐标；
②若0.5＜OE/OD＜2，求b的取值范围．
【解析】
（1）解题思路：先求直线AB的解析式，再根据“特征点”的定义，得到C点坐标.
由A（0，0），B（1.3），可求直线AB：y=ax+b，代入，解得：a=3，b=0，所以直线的解析式为y=3x，抛物线的解析式为y=3x2，再根据特征点的定义，不难得到点C（3，0）．
（2）显然应该先求出A、B两点的坐标，然后现描点。
联立直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx，可得：ax2+（b﹣a）x﹣b=0，将左边因式分解得到（ax+b）（x﹣1）=0，解得：x=﹣b/a，x=1，
∴A（1，a+b），B（﹣b/a，0）．
点A、点B的位置如图所示:
（3）①解题思路：根据条件先找出a与b的关系，进一步得到D点坐标，最后利用特征直线与平行四边形的性质，求出C点坐标.
如下图示，
因为特征点C（a，b）为直线y=﹣4x上一点，所以b=﹣4a．同时抛物线y=ax2+bx的对称轴(x=－b/2a=2)与x轴交于点D，所以点D的坐标为（2，0）．
如下图示：
又点F的坐标为（1，0），得DF=1．另一方面，因特征直线y=ax+b交y轴于点E，所以E（0，b）．而点C的坐标为（a，b），所以CE∥DF．又已知DE∥CF，因此得到四边形DECF为平行四边形．如下图示：
进一步得到：CE=DF=1．所以a=﹣1．因此特征点C为（﹣1，4）．
②解题思路：先确定a的取值范围，再根据条件确定b与a的函数关系，然后根据a的取值范围，结合函数（b与a的函数有关系）图象，求出b的取值范围.
由上述已求得：C（a，b），E（0，b），F（1，0），D（﹣b/(2a)，0）.
由已知1/2＜tan∠ODE＜2，得到：1/2＜OE/OD＜2，将相关数据代入，得：
化简得：1/2＜|2a|＜2.
解得﹣1＜a＜﹣1/4或1/4＜a＜1，
又由上述证得四边形DECF为平行四边形，所以CE=DF，得到：
，整理得：b=2a2﹣2a.
即：b=2（a﹣1/2）2﹣1/2.结合b关于a的函数图象，如下图示：
结合图象，不难得到：
当﹣1＜a＜－1/4时，得5/8<b＜4；当1＜a＜1/4时，得﹣1/2≤b＜0.
综上所述，5/8<b＜4或﹣1/2≤b＜0.
【反思】注意对新定义中的概念的理解，并注意数形结合思想在解题的运用.
【例3】在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折得到与原抛物线剩余的部分组成如图所示的图形，若直线y=kx+1与这个图形只有两个公共点，请求出此时k的取值范围．
【图文解析】
（1）简析：当k=1时，抛物线的解析式为y=x2﹣1，直线的解析式为y=x+1，联立两解析式，解之，即可得到：A（﹣1，0），B（2，3）.
（2）（解法多种，仅提供最常用且快速的一种，有兴趣的朋友可打开本公众号中的2017年中考福建倒一的第3小题中的解法），过点P作PF∥y轴交AB于F，如下图示：
若设P（x，x2﹣1），则F（x，x+1），
PF=yF﹣yP=(x+1)﹣(x2﹣1)
=﹣x2+x+2，
S△ABP=S△PFA+S△PFB
=0.5PF(xF﹣xA)+0.5PF(xB﹣xF)
=0.5PF(xB﹣xA)=1.5PF
=1.5(﹣x2+x+2)
=﹣1.5(x﹣0.5)2+27/8
∵当x=0.5时，yP=0.52﹣1=﹣3/4，
∴△ABP面积的最大值为27/8，
此时点P的坐标（1/2，﹣3/4）.
（3）画出符合条件的草图如下图示，
将图形折叠，显然应先求出直线与翻折后的抛物线只有一个公共点的情况，再结合k＞0，即可求出k的取值范围．
先求出原抛物线与x轴的交点C、D坐标.由x2+（k﹣1）x﹣k=0得：（x+k）（x﹣1）=0，解得x=﹣k，或x=1，所以C（﹣k，0），D（1，0）.
翻折后的抛物线与原抛物线关于x轴对称，所以翻折后的抛物线解析式为y=﹣x2﹣（k﹣1）x+k（可先求出翻折后的顶点坐标，也要直接用－y代替原解析式的y，再化简即可）.
接下来，可求出两种极端情况（即有三个公共点的情况），如下图示：
联立直线y=kx+1和翻折后的抛物线解析式，得kx+1=﹣x2﹣(k﹣1)x+k，即x2+（2k﹣1）x+1﹣k=0，由△=（2k﹣1）2﹣4（1﹣k）=0得：
【反思】画出符合条件的图形图象，再结合图象（数形结合），是解此类问题的关键．
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