2018-2019学年漳州九上期末质检——倒二压轴（华师版）
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漳州九上期末质检——倒二压轴(华师版)
【试题】【问题情境】
（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理,又称“欧几里德定理”：在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．
其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,则：(1)CD² = AD·BD,(2)AC²= AB·AD,(3)BC²=AB·BD；请你证明定理中的结论BC²=AB·BD．
【结论运用】
（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
①求证：△BOF∽△BED；
②若BE＝2√10，求OF的长．
（2）本题与之前写的文章：“与2017福州九下质检第16题类似的试题的多种解法分析与大胆拓展及变式”（直接点击打开阅读）几乎相同．
所以OB×BD＝BF×BE，得到OB/BF＝BE/BE．又∠DBE是公共角，因此△BOF∽△BED．同时还可得到∠BFO＝∠BDC＝45°．如下图示．
②下面是之前的文章复制的：
解法一、二：
利用三角函数的定义（当然也可以用相似或勾股定理）可得：
(1)如下图示，过O点作OP⊥BF于点P.
显然这种解法，计算量较大.
(2)如下图示，过B点作BQ⊥OF于点Q.
这时的计算量就小多了。
解法三
解法四
解法五
解法六
解法七
与2017年福州九下质检第16的解法类似，也有相类似的解法.，这里不在重复，有兴趣的朋友，可以参考一下前面的相关小文章.
下面再提供一种用函数来解决的方法
（就称解法八）：
建立如图如示的平面直角坐标系，，再延长CF交AD于G，容易得到：B（－3，－3），E（3，－1），C（3，－3），G（1，3）（其中G点坐标可通过△BCE≌△CDG得到），进一步求出直线BE和CG的解析式，联立两解析式可求得F点的坐标，最后在Rt△OFM中，根据勾股定理可求得OF的长.
接下来，将本题大胆变式，解法相类似，动脑思考一下.
(前面用到全等，可能下面变式要用到相似)
变式1 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD的延长线上，且DE=3CE，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足是F，连接OF，则OF的长为________．
变式2 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在DC的延长线上，且CE=3DE，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足是F，连接OF，则OF的长为________．
变式3 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在直线CD上的一个动点，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足是F，连接OF.设CE=x，OF=y，则y与x之间的关系为________．
(上述三个变式的解法均与原题相同，均有较多种解法.)
变式4 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在边CD上，且CD=2CE，连接BE．过点C作∠CFB=∠BOC，使F点在直线BE上，连接OF，则OF的长为________．
（若E点直线CD呢？若CE=x，OF=y，找出y与x的关系.）
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