例谈用代数方法（含参运算与定点定线定值分析）研究初中函数与几何运动变换问题——高考试题改编初中试题的拓展与思考

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注：本文是将之前（2019年福建省中考之前）已发布的几篇文章进行汇总整理而成.

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用代数方法研究运动变换问题

——2019年全国高考全国卷第19题的改编成初中试题及多向拓展延伸的思考在数学发展的相当长的时期内，算术是几何的附庸，笛卡尔和费马将数与图形有机的结合在一起，开创了图形的数量化研究，实现了根本性的转变，“数无形时不直观，形无数时难入微”道出了数形结合的辩证关系。在初中数学教学中，应该引导学生感知这种图形的数量化研究的思想和魅力，应该将代数与图形有机结合，能用“代数表示”研究图形的位置和图形变换运动过程，养成具有良好的感知图形的数量化研究的思想和魅力。而其中的“含参”运算则是重中之重，熟练且富有“技巧性”地掌握含参运算，是解决中考压轴题的函数与几何综合相关试题的关键，对今后高中甚至于大学之后的数学学习产生深远影响，因此掌握好含参运算也是初高中教与学衔接的一个重要部分．       下面以2019年高考全国卷Ⅰ的第19题改编为初中试题为例，进行拓展延伸，体会初高中衔接与含参运算的重要作用，同时强调数形结合思想在解题中的重要作用。
阅读建议：体会变式中的蕴含的定点、定值、定线相关内容与近两年福建省中考倒一压轴中的定点、定线的区别也联系。
【2019年高考全国卷Ⅰ第19题】——高考原题已知抛物线C：y²=3x的焦点为F，斜率为3/2的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|.
【改编一】——保持原汁原味
已知抛物线C：y=x²/3与直线l: y=2x/3+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P.平行于x轴的直线n交y轴的负半轴于点M，点F与点M关于x轴对称，且点A到点F的距离与点A到直线n的距离相等（此段文字实际上是解释焦点的定义）.（1）求点F的坐标；（2）若AF＋BF＝4，求直线l的解析式；（3）若AP＝3BP，求AB的长.【图文解析】（1）符合题意的图如下：设F（0，t），A（3x，3x²），则M（0，-t），AH＝3x²+t，得AH²＝9x⁴+6tx²+t².
由勾股定理，得AF²＝AD²＋DF²＝(3x)²＋(3x²-t)²=9x⁴+(9-6t)x²+t².由题意，得AH²＝AF²，得9x⁴+6tx²+t²=9x⁴+(9-6t)x²+t².得6t＝9－6t.解得t=3/4.所以点F的坐标为（0，3/4）.（2）如下图示.由（1）同理，知BF＝BG.

（从答案可以看出，上述草图点P应画在点F的下方处，但不影响解题，这里就不做更改）

（3）当AP＝3BP时，如下图示：【反思】数形结合思想，数式化简（含参运算）显然是数学学科素养和数学能力一个非常重要的方面，务必认真体会.【思维延伸】已知抛物线C：y=x²/3与直线l: y=2x/3+b相交于点A，B，连接OA、OB.若∠AOB＝90°，求b的值.（仅供教研，答案略去）
【改编二】已知抛物线C：y=x²/3与直线l: y=2x/3+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P.连接OA与OB．
（1）若AP＝tBP（t为大于0的常数），用含t的代数式表示AB的长；（2）作点P关于x轴的对称点Q．①连接QA与QB，求证：QP平分∠AQB；②过Q点作x轴的平行线n，再分别过点A、B作直线n的垂线段AC和BD，设△ACQ、△AQB和△BQD的面积分别为S₁、S₂和S₂，求证：S₂²＝4S₁×S₂．（3）若将（2）的抛物线C与直线l的解析式分别换成：和，(2)中的两个结论是否仍然成立？【图文解析】
（1）当AP＝t×BP时，如下图示： （2）①如下图示，其实就是2018年福建省中考倒一的简单变式．
解题思路：只需证tan∠AQF＝tan∠BQE即可．在（1）的结论中不难得到点A与点B的坐标．②如下图示，其实就是2018-2019学年福州市九上期末质检——倒一压轴（可打开阅读）的简单变式．
解题思路：在（1）的结论中不难得到点A与点B的坐标．直接通过含参计算，即可得到证明．
（3）结论仍然成立，其实换成更一般的解析式，结论仍然成立．有兴趣的朋友可打开本公众号之前的文章““阅读．
【改编三】已知抛物线C：y=x²/3与直线l: y=2x/3+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P.连接OA与OB．
（1）当b=3时，求证：△AOB是直角三角形；（2）在（1）的条件下，若绕点P旋转，是否仍然有△AOB是直角三角形；（3）若同时改变抛物线C与直线l的解析式为：y=ax²和y=kx+m，是否仍然有：△AOB为直角三角形．如果没有，则需满足什么条件即可确保△AOB为直角三角形？【图文解析】（1）联立直线l和抛物线C的解析式，直接求出A、B两点的坐标，再利用勾股定理或相似或三角函数进行计算即可得到证明：如下图示：最快的思路：利用tan∠BOH＝tan∠GAO……
（2）仍然成立．如下图：思路仍然同上述，这里突显含参计算的重要性了．
（3）解题思路仍然一样．结论：需满足m=1/a，即可确保△AOB为直角三角形．
【改编四】已知抛物线C：y=x²/3与直线l: y=-2x/3+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P.过点A、B作AE⊥y轴于点E，作BD⊥y轴于点D．（1）求证，不论b为何值，AE×BD/OP的值为定值，并求其定值；（2）在（1）的条件下，若绕点P旋转，是否有上述结论？并给予证明．（3）若将抛物线C与直线l的解析式分别换成y=ax²和y=kx+b，则AE×BD/OP的值是否仍为定值？若是，求其定值，若不是说明理由．【图文提示】（1）如下图示．解题思路：参考改编一或二的解法，求得点A、B的坐标，再进行含参计算即可．定值为3．（2）结论仍然成立，如下图示，思路与（1）相同．（3）AE×BD/OP的值仍为定值。定值为1/a．
【改编五】已知抛物线C：y=x²/3与直线l: y=-2x/3+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P. M是抛物线C上的一个动点，过点M作MN∥y轴交直线AB于点N，再分别过点A、B作AE⊥y轴于点E，作BD⊥y轴于点D．
（1）求证，不论b为何值，AE×BD/MN的值为定值，并求其定值；（2）在（1）的条件下，若绕点P旋转，上述结论是否成立？并给予证明；（3）若将抛物线C与直线l的解析式分别换成y=ax²和y=kx+b，则AE×BD/MN的值是否仍为定值？若是，求其定值，若不是说明理由．【图文提示】（1）如下图示．解题思路：参考改编一或改编二的解法，求得点A、B的坐标，再进行含参计算即可．定值为3．（2）结论仍然成立，如下图示，思路与（1）相同．（3）AE×BD/MN的值仍为定值．定值为1/a．如下图示．【改编六】已知抛物线C：y=x²/3与直线l: y=-2x/3+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P，连接OA.过点A作AE⊥y轴于点E，过点E作CD∥OA交抛物线C于点G、H．
（1）求证，不论b为何值，EH:OA＝OA:EG=定值，并求其定值；（2）在（1）的条件下，若绕点P旋转，则上述结论是否仍然成立？并给予证明．（3）若将抛物线C与直线l的解析式分别换成y=ax²和y=kx+b，则上述结论是否仍然成立？并给予证明．【提示】（1）类似上述拓展的解题思路，先求得点A、B、E、G、H点的坐标，再进行含参计算即可．定值为黄金分割值（√5-1）/2．（2）与（3）均成立，证法类似．
【改编七】已知抛物线C：y=x²/3与直线l: y=kx+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P．
（1）当k=0时，求OP/（AB²）的值；（2）点M是抛物线上的动点，过点M作MG⊥直线l于点G，当k=0时，求MG/（GA×GB）的值；（3）点M是抛物线上的动点，过点M作MG∥y轴交直线l于点G，当k=2时，求证：不论b为何实数，MG/（GA×GB）的值为定值，并求定值；（4）若将（2）的抛物线改为”y=ax²”，其他条件不变，则MG/（GA×GB）的值还为定值吗？若是，请求出定值;若不是，说明理由．【图文解析】（1）如下图示，当k＝0时，直线l为y=b．法一：由x²/3=b，得x=±√（3b），进一步，得B（√（3b），b），得AB＝2√(3b)，OP=b，再通过计算，可得OP/（AB²）＝…＝1/12．法二：由抛物线的对称性，得OP/（AB²）＝OP/（4PB²）＝1/4×OP/PB²＝1/4×y_B/x_B²．又由于点B在抛物线y= x²/3上，所以y_B= x_B²/3，得y_B/x_B²＝1/3．所以OP/（AB²）＝1/4×1/3＝1/12．（2）如下图示．当k=0时，直线l为y=b．设M（3m，3m²），A(-3t，3t²)，则A(3t，3t²)，P（0，3t²），G(3m，3t²)．所以MG＝3（t²-m²），GA=3(m+t)，GB=3(t-m)，得GA×GB＝9（t²-m²），所以MG/（GA×GB）＝1/3．（3）如下图示．类似（2）的解题思路，需要耐心进行含参计算．定值为1/15．（4）如下图示．类似（2）的解题思路，需要耐心进行含参计算．定值为：|a|/(1+k²)．
【改编八】已知抛物线C：y=x²/3与直线l: y=-2x/3+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P．点Q在线段AB上．
（1）当点Q是线段AB的中点时．求证：随着b的值的变化，点Q总是在一定直线上运动，并求这条直线的解析式．（2）若将抛物线C与直线l的解析式分别换成y=ax²和y=kx+b，请找出类似（1）的结（3）若直线y=kx+1（与y轴交于点P，与抛物线交于点A、B）绕点P旋转，则线段AB的中点Q的运动路径所表示的解析式：【图文提示】（1）如下图示，通过计算，可得x_Q=-1，所以点Q总是在直线x=-1运动；（2）如下图示，通过计算，可得x_Q=k/(2a)，所以点Q总是在直线x= k/(2a)运动；（3）如下图示，类似于（2）的思路，点Q总是在抛物线y=2x²/3+1的抛物线上运动．

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