中考压轴｜纯代（函）数汇总（1）

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【例1】已知抛物线C：y=x²﹣（m+1）x+1的顶点在坐标轴上．

（1）求m的值；（2）当m＞0时，抛物线C向下平移n（n＞0）个单位后与抛物线C₁：y=ax²+bx+c关于y轴对称，且C₁过点（n，3），求C₁的函数关系式；（3）当﹣3＜m＜0时，抛物线C的顶点为M，问在直线x=﹣1上是否存在一点Q，使得抛物线C绕Q点旋转180⁰后得到的新抛物线与x轴只有一个交点，求旋转后的抛物线解析式.

【解析】

（1）顶点在坐标轴上，说明顶点可能在x轴上，也可以在y轴上.

当抛物线C的顶点在x轴上时，

由△=[﹣（m+1）]²﹣4=0，

得m=1或m=﹣3；

当抛物线C的顶点在y轴上时，

由﹣（m+1）=0，得m=﹣1.

综上所述，m=±1或m=﹣3，

（2）由（1）知m=±1或m=﹣3，

又因m＞0时， 所以m=1，

所以抛物线C的解析式为

y=x²﹣2x+1＝(x－1)²，

当该抛物线向下平移n（n＞0）个单位后得到y=(x－1)²﹣n，得顶点（1，n），

进一步，得：

抛物线C₁的顶点为(－1，－n)，

且a＝1，

得抛物线C₁为y= (x+1)²﹣n.

又因抛物线C₁过点（n，3），

所以n²+2n+1﹣n=3，

即n²+n﹣2=0，

解得n₁=1，n₂=﹣2（舍去）

因此抛物线C₁：y=x²+2x，

（3）由（1）知：m=±1或m=﹣3，

又因﹣3＜m＜0时， 

所以m=－1，

所以抛物线C的解析式为y=x²+1，

其顶点M（0，1）.

如下图示，设Q(－1，t)，

则M’(－2，2t－1)，

由于新抛物线与x轴只有一个交点，

所以Q’的纵坐标为0，

即M’(－2，2t－1)，

因此所求的抛物线的解析式为：y=(x+2)²

【例2】在平面直角坐标系中，O为原点，A为x轴正半轴上的动点，经过点A（t，0）作垂直于x轴的直线l，在直线l上取点B，点B在第一象限，AB=4，直线OB：y₁=kx（k为常数）．（1）当t=2时，求k的值；（2）经过O，A两点作抛物线y₂=ax（x﹣t）（a为常数，a＞0），直线OB与抛物线的另一个交点为C．①用含a，t的式子表示点C的横坐标；②当t≤x≤t+4时，|y₁﹣y₂|的值随x的增大而减小；当x≥t+4时，|y₁﹣y₂|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式并直接写出t的取值范围．

【图文解析】

(1)

(2)

【例3】

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图文解析：

【例4】

图文解析

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  ……

【例5】在平面直角坐标系中，已知函数y₁＝2x和函数y₂＝－x＋6，不论x取何值，y₀都取y₁与y₂二者之中的较小值.

（1）求y₀关于x的函数关系式；

（2）现有二次函数y＝x²－8x＋c，若函数y₀和y都随着x的增大而减小，求自变量x的取值范围；

（3）在（2）的结论下，若函数y₀和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围．

图文解析

(1)

(2)

(3)

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