中考压轴｜纯代（函）数系列（3）

Original 永泰一中张祖冬初中数学延伸课堂 2022-07-16

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【例1】设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y=﹣x+4，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当1≤x≤3时，恒有1≤y≤3，所以说函数y=﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”，同理函数y=x也是闭区间[1，3]上的“闭函数”．

（1）反比例函数y=2018/x是闭区间[1，2018]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；

（2）如果已知二次函数y=x²﹣4x+k是闭区间[2，t]上的“闭函数”，求k和t的值；

（3）如果（2）所述的二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点，B为直线x=1上的一点，当△ABC为直角三角形时，写出点B的坐标．

【图文解析】

（1）由k＝2018＞0可知，反比例函数y=2018/x在当1≤x≤2018（即闭区间[1，2018]）时，y随x的增大而减小．而且当x=1时，y=2018，x=2018时，y=1，所以1≤y≤2108．再根据“闭函数”的定义（即对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”）．因此反比例函数y=2018/x是闭区间[1，2018]上的“闭函数”．

详细过程如下：

∵k=2018时，∴当1≤x≤2018时，y随x的增大而减小．

∴当x=1时，y=2018，x=2018时，y=1．

∴1≤y≤2108．

∴反比例函数y=2018/x是闭区间[1，2018]上的“闭函数”．

（2）由二次函数y=x²﹣4x+k可得其对称轴为x=2，又由于a=1＞0，根据二次函数的性质可知函数y=x²﹣4x+k当x＞2时(即在闭区间[2，t]上)， y随x的增大而增大，同时：当x=2，y=k﹣4时，当x=t，y=t²﹣4t+k，根据“闭函数”的定义，可得k﹣4＝2且t²﹣4t+k＝t.解之即可.

详细过程如下：

∵对于二次函数y=x²﹣4x+k，其对称轴为x=2，且a=1＞0，

∴二次函数y=x²﹣4x+k在闭区间[2，t]上y随x的增大而增大．

∵二次函数y=x²﹣2x﹣k是闭区间[2，t]上的“闭函数”，且当x=2时，y=k﹣4，x=t时，y=t²﹣4t+k．

（3）由（2）知：二次函数y=x²﹣4x+6＝(x－2)²+2是闭区间[2，3]上的“闭函数”.

由已知“二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点”，得A（2，2），C（0，6）.

因“B为直线x=1上的一点”，所以可设B（1，t），如下图示：

通法：（计算较繁）

如下图示：

由勾股定理，不难得到:

AC²=2²+(2﹣6)²，

AB²=(2﹣1)²+(2﹣t)²，

BC²=1²+(t﹣6)²，

当△ABC为直角三角形时，分成三种情况，

①当∠ABC=90°时，AB²+BC²=AC²，

即(2﹣1)²+(2﹣t)²+(t﹣6)²+1

=2²+（2﹣6）²，

化简，得t²﹣8t+11=0，

②当∠BAC=90°时，AB²+AC²=BC²，

即(2﹣1)²+(2﹣t)²+2²+(2﹣6)²

=1²+（t﹣6）²，

化简，得8t=12，

解得t=3/2，所以B（1，3/2）.

③当∠ACB=90°时，AC²+CB²=AB²，

即2²+(2﹣6)²+1²+(t﹣6)²

=(2﹣1)²+(2﹣t)²，

化简，得2t=13，

解得t=13/2，

所以B（1，13/2）.

当然可用下列方法：（如下图示）.

【例2】已知一次函数y₁=x+b 的图象与二次函数y₂=a（x²+bx+3）（a≠0，a，b 为常数）的图象交于A、B 两点，且点A 的坐标为（0，3）

（1）求出a，b 的值；

（2）求出点B 的坐标，并直接写出当y₁≥y₂≥－x时x 的取值范围；

（3）设s=y₁+y₂，t=y₁﹣y₂，若n≤x≤m 时，s 随着x 的增大而增大，且t 也随着x 的增大而增大，求m－n 的最大值．

【图文解析】

（3）先分别求出两函数s、t的解析式，并配方成顶点式，写出当s随着x 的增大而增大，且t 也随着x 的增大而增大的x的取值，与n≤x≤m相比较对应得出结论．

s=y₁+y₂=x+3+x²+3x+3

=x²+4x+6=（x+2）²+2，

因抛物线开口向上，

所以当x≥﹣2时，s 随着x 的增大而增大，

同样t=y₁﹣y₂=x+3﹣（x²+3x+3）

=﹣x²﹣2x=﹣（x+1）²+1，

因抛物线开口向下，当x≤﹣1时，t随着x 的增大而增大，

所以当﹣2≤x≤﹣1时，s 随着x 的增大而增大，且t 也随着x 的增大而增大.

如下图示，又因n≤x≤m，s 随着x 的增大而增大，且t 也随着x 的增大而增大，所以n 的最小值﹣2，m 的最大值﹣1．

【例3】已知二次函数y=x²+2x+m的图象C₁与x轴有且只有一个公共点．（1）求C₁的顶点坐标；（2）将C₁向下平移若干个单位后，得抛物线C₂，如果C₂与x轴的一个交点为A（﹣3，0），求C₂的函数关系式，并求C₂与x轴的另一个交点坐标；（3）若P（n，y₁），Q（2，y₂）是C₁上的两点，且y₁＞y₂，求实数n的取值范围．【图文解析】（1）简析：由于二次函数y=x²+2x+m的图象C₁与x轴有且只有一个公共点，那么顶点的纵坐标为0或者△＝0，由此可以求m的值．因y=x²+2x+m=（x+1）²+m﹣1，对称轴为直线x=﹣1，且与x轴有且只有一个公共点，顶点的纵坐标为0，C₁的顶点坐标为（﹣1，0）.或：由△=2²-4m=4－4m=0，解得m=1，…….（2）因将抛物线上下平移，因此可设所求抛物线解析式为y=（x+1）²+k，同时平移后的抛物线经过点A（﹣3，0），直接代入即可求出k，也就求出了抛物线的解析式；详细过程如下：设C₂的函数关系式为y=（x+1）²+k，把A（﹣3，0）代入上式，得（﹣3+1）²+k=0，得k=﹣4， ∴C₂为y=（x+1）²﹣4． ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，且与x轴的一个交点为A（﹣3，0），∴根据抛物线的对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）.（3）解题思路：由于y=x²+2x+m=（x+1）²+m﹣1，所以抛物线的对称轴为直线x=﹣1，根据二次函数的图象的性质可知：当x≥﹣1时，y随x的增大而增大，因此应分n≥﹣1和n≤﹣1两种情况进行讨论，进一步得到n的取值．具体分析如下：因当x≥﹣1（对称轴的右边）时，y随x的增大而增大，所以：当n≥﹣1时，由“P（n，y₁），Q（2，y₂）是C₁上的两点，且y₁＞y₂”可知：因为y₁＞y₂，所以n＞2．当n＜﹣1时，因对称轴为x=－1，P（n，y₁）的对称点坐标为（﹣2﹣n，y₁），且﹣2﹣n＞﹣1.由“P（n，y₁），Q（2，y₂）是C₁上的两点，且y₁＞y₂”可知：因为y₁＞y₂，所以﹣2﹣n＞2，即n＜﹣4.综上所述：n＞2或n＜﹣4．

【例4】已知：关于x的方程mx²﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0．
（1）求证：m取任何实数量，方程总有实数根；（2）若二次函数y₁=mx²﹣3（m﹣1）x+2m﹣3的图象关于y轴对称；①求二次函数y₁的解析式；②已知一次函数y₂=2x﹣2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₁≥y₂均成立；（3）在（2）条件下，若二次函数y₃=ax²+bx+c的图象经过点（﹣5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y₁≥y₃≥y₂均成立，求二次函数y₃=ax²+bx+c的解析式．【图文解析】（1）题目并没有明确是一次方程还是二次方程，所以要分类讨论：①当m=0时，原方程可化为3x﹣3=0，即x=1，显然有实数根；②当m≠0时，原方程为关于x的一元二次方程，可根据一元二次方程的根的判别式△，然后结合△的非负数的性质进行证明．由于△=[﹣3（m﹣1）]²﹣4m（2m﹣3）=m²﹣6m+9=（m﹣3）²≥0，所以方程有两个实数根.综上可知：m取任何实数时，方程总有实数根．（2）①由于原二次函数y₁=mx²﹣3(m﹣1)x+2m﹣3的图象关于y轴对称，所以有3(m﹣1)=0且m≠0，即m=1；因此所求的解析为y₁=x²﹣1．②根据题意，可用下列三种常用方法进行求解.法一　求差法：由于y₁﹣y₂=x²﹣1﹣(2x﹣2)=(x﹣1)²≥0，所以y₁≥y₂（当且仅当x=1时，等号成立）．法二　求商法：由于y₁/y₂=(x²﹣1)/(2x－2)=(x+1)/2.当y₂＞0即2x﹣2＞0即x>1时，(x+1)/2>1，所以y₁/y₂＞1且y₂>0,去分母，得：y₁＞y₂_；当y₂＜0即2x﹣2＜0即x＜1时，(x+1)/2＜1，所以y₁/y₂＜1且y₂＜0,去分母，得y₁＞y₂_；当y₂＝0即2x﹣2＝0即x＝1时，通过计算显然有y₁＝y₂＝0.综上所述，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₁≥y₂均成立.法三　图象法：分别画出对应的函数y₁和y₂的图象，如下图示，

又由x²－1=2x－2得x²－2x +1=0，得x₁=x₂=1，由此得到：抛物线y₁=x²﹣1与直线y₂=2x﹣2只有一个公共点（即x=1）.结合图象可知：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₁≥y₂均成立.对比上述三种方法，显然“求差法”快速方便，但每一种解法均有借鉴意义，也是最常见的比较大小的方法.（3）根据②的结论知：y₁、y₂的交点为（1，0），由于“对应x的同一个值y₁≥y₃≥y₂成立”，再结合上述图象可知：三个函数的图象都应交于（1，0）.又因y₃=ax²+bx+c的图象经过点（﹣5，0），因此可设y₃=a（x﹣1）（x+5）=ax²+4ax﹣5a.再利用“求差法“有：设y=y₃﹣y₂=ax²+4ax﹣5a﹣（2x﹣2）=ax²+（4a﹣2）x+（2﹣5a）；由于“对于x的同一个值，这三个函数对应的函数值y₁≥y₃≥y₂成立“，如下图示.

又根据y₁、y₂的图象知：a＞0，所以y=ax²+（4a﹣2）x+（2﹣5a）≥0（其中a>0），即开口向上的抛物线y=ax²+（4a﹣2）x+（2﹣5a）永远在x轴或x轴的上方.因此有：
△＝（4a﹣2）²﹣4a（2﹣5a）≤0，即（3a﹣1）²≤0，又（3a﹣1）²≥0，所以3a－1＝0，解得a=1/3.因此所求的抛物线解析式为：