“强基固本，行稳致远”，科学研究离不开理论基础，人工智能学科更是需要数学、物理、神经科学等基础学科提供有力支撑，为了紧扣时代脉搏，我们推出“强基固本”专栏，讲解AI领域的基础知识，为你的科研学习提供助力，夯实理论基础，提升原始创新能力，敬请关注。
地址：https://zhuanlan.zhihu.com/p/76501152在介绍SVM算法之前，需要一些背景知识，优化理论就是其中的基石。在此之前，我对优化理论都没有很好地理解，今天看了一些知乎上大神们的解释，对拉格朗日乘子法和KKT条件有了一些全新的认识，今天特意mark一下。感谢https://zhuanlan.zhihu.com/p/36621652和https://www.zhihu.com/question/23311674马同学的回答。具体的细节和图画可以到以上两个优秀的回答中看，这里只是记录一些浅显的认识和理解，主要是帮助本人记忆和记录。说到求解最优解，我们最先想到的应该就是对一个函数进行求导，然后令导数为0，接着就是求解这个方程，得到的就是最优解啦。例如要求解 ，那么就是解方程 ，最终的 为最优解。没错，上面就是没有约束条件下最优解的办法，那么当有约束条件怎么呢？这时候就要用到拉格朗日乘子法。其实拉格朗日法就是把一个有约束问题转换成一个无约束问题，此时就需要引入拉格朗日项来起到控制效果。如果满足约束条件，那么这个项就应该有助于最优化，而不满足约束条件，则这个项就惩罚最优化。因此为了找到最优化的结果，就得满足约束条件。
等式约束条件的最优化图，来源：https://zhuanlan.zhihu.com/p/36621652由图可以看到，蓝色线为函数等值线，整个平面是x的空间，但是由于加了约束 ，所以x的可行域就只能是黑色那条线，那条线表示的就是 。因此找最优解的时候，就只能在黑色线上找。假如没有黑色线的约束，那么函数 的极值就应该在最小的蓝色椭圆内（还有没有画出来的更小的椭圆，最终应该是一个点），蓝色的箭头就表示它们的梯度反方向（函数值减小的方向）。有了黑色线的约束，最优解应该就在蓝色线和黑色线相切的地方，因为相切，所以两条线的梯度反方向应该是方向相同或者相反。因此满足方程： 。所以对于等式约束的最优化问题，当函数的梯度等于等式约束的梯度的线性组合时，可能可以找到最优解。这就是等式约束的最优化问题的KKT条件。满足KKT条件的点不一定是极值点，但是极值点一定满足KKT条件。那么拉格朗日乘子法的做法就是定义一个新的拉格朗日函数： ，对该函数求导并另其为0，得到的就是上面的方程。这就是等式约束条件的拉格朗日乘子法。拉格朗日法的目的其实就是加多一项控制项，满足条件时，应该帮助最优化的结果；而不满足条件时，就应该破坏最优化的结果。
不等式约束条件的最优化图，来源：https://zhuanlan.zhihu.com/p/36621652
因为我们要求解的问题是最小化问题，所以下面都会说是梯度的反方向。蓝色斜线为部分为可行域，也就是 ，其他和上面一样。那么最优解要在这个区域里面找了。那么就可以有两种情况出现：第一种就函数f(x)极值点就在 内（这些点也被称为不活跃点），从上图来看，也就是函数f(x)的收敛点在h(x)=0的右方，那么就相当于没有约束条件，只需要满足的方程 就行了。于是此时对于拉格朗日函数 ，其中的 ，即不需要考虑约束条件。第二种情况就是函数f(x)极值点在 ，从上图来看，也就是函数f(x)的收敛点在h(x)=0的左方，很容易就可以看出此时极值点在边界上（ ，这些点也被称为活跃点），这时候就相当于上面的等式约束条件下的最优化问题，满足的方程为
此时对于拉格朗日函数 ，其中的 。因为这种情况下的 和 方向必相反，所以要满足上面的方程，那么 必须大于0。如下图，对于可行域的约束，如果 的梯度方向是往白色区域去的话，那就成为了第一种情况，极值点在不活跃点内。如果是第二种情况，就 的梯度方向也就只能往白色区域外（也就是蓝色椭圆那边去），这时候极值点就只能出现在不活跃点，由于相切，所以两个梯度方向必定相反。
两种不同的情况，图中的g(x)就是h(x)。来源：https://zhuanlan.zhihu.com/p/36621652
结合上面两种情况，简化上面的式子，则可以写出拉格朗日函数和KKT条件：
最后总结一下，对于有约束的最优化问题，使用拉格朗日乘子法来把问题转换成无约束问题进行求解，也就是问题的最优解必须满足KKT条件，KKT条件简单来说，就是函数的梯度方向由等式约束条件的梯度方向线性组合加上不等式约束条件的活跃点（也就是不等式约束条件等号成立的时候）的梯度的线性组合。由于该KKT条件的存在，所以才有拉格朗日乘子法。而拉格朗日法的目的其实就是加多一项控制项，满足条件时，应该帮助最优化的结果；而不满足条件时，就应该破坏最优化的结果。
本文目的在于学术交流，并不代表本公众号赞同其观点或对其内容真实性负责，版权归原作者所有，如有侵权请告知删除。
“强基固本”历史文章
更多强基固本专栏文章，
请点击文章底部“阅读原文”查看
分享、点赞、在看，给个三连击呗！